Номер 5, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 5, страница 231.

Условие.

5. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет общий вид:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

где $x$ и $y$ — переменные, а $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ — некоторые числа (коэффициенты). Каждое такое уравнение графически представляет собой прямую на координатной плоскости. Решение системы — это пара чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет обоим уравнениям, то есть является координатами точки пересечения этих прямых. Количество решений системы зависит от взаимного расположения этих двух прямых. Существует три возможных случая.

Система имеет единственное решение

Этот случай имеет место, когда графики уравнений (прямые) пересекаются в одной-единственной точке. Координаты этой точки и являются уникальным решением системы.

Алгебраически это означает, что угловые коэффициенты прямых не совпадают. Это условие можно выразить через коэффициенты уравнений: отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$.

$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

Пример:

$ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = -1 \end{cases} $

Здесь $\frac{2}{1} \neq \frac{1}{-3}$. Эта система имеет одно решение: $(x=2, y=1)$.

Ответ: одно решение.

Система не имеет решений

Этот случай соответствует двум параллельным прямым, которые не совпадают. Так как у параллельных прямых нет ни одной общей точки, то и система не имеет решений.

Алгебраически это означает, что угловые коэффициенты прямых равны, а их сдвиги по оси ординат (y-intercept) различны. В терминах коэффициентов это условие выглядит так: отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов.

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

Пример:

$ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases} $

Здесь $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$, но $\frac{1}{2} \neq \frac{4}{10}$. Эти прямые параллельны, и у системы нет решений.

Ответ: нет решений (ноль решений).

Система имеет бесконечно много решений

Этот случай имеет место, когда оба уравнения описывают одну и ту же прямую (прямые совпадают). Каждая точка этой прямой является решением системы.

Алгебраически это означает, что оба уравнения эквивалентны, то есть одно может быть получено из другого путем умножения на некоторое число. Все соответствующие коэффициенты пропорциональны.

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Пример:

$ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases} $

Здесь $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$. Второе уравнение — это первое, умноженное на 2. Они описывают одну и ту же прямую, поэтому система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесконечно много решений.

Таким образом, система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь либо одно решение, либо ни одного решения, либо бесконечно много решений.