Номер 6, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 6, страница 231.

Условие.

6. Каково взаимное расположение прямых, являющихся графиками двух линейных уравнений с двумя переменными, составляющих систему уравнений, если:

1) система имеет единственное решение;

2) система не имеет решений;

3) система имеет бесконечно много решений?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

1) система имеет единственное решение; Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая. Решение системы двух таких уравнений — это координаты общей точки их графиков. Если система имеет единственное решение, это означает, что графики-прямые имеют ровно одну общую точку. На плоскости это возможно только в том случае, если прямые пересекаются. Для системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ это соответствует условию, что отношение коэффициентов при переменных не равны: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
Ответ: Прямые пересекаются.

2) система не имеет решений; Если система не имеет решений, это означает, что у графиков уравнений нет ни одной общей точки. Геометрически это означает, что две прямые на плоскости не пересекаются и не совпадают, то есть они параллельны. У таких прямых одинаковые угловые коэффициенты, но разные точки пересечения с осями. Условие для коэффициентов системы: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.
Ответ: Прямые параллельны.

3) система имеет бесконечно много решений? Если система имеет бесконечно много решений, это означает, что любая точка, принадлежащая одной прямой, также принадлежит и второй. Такое возможно только в том случае, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Геометрически это означает, что прямые полностью накладываются друг на друга, то есть совпадают. В этом случае коэффициенты уравнений пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
Ответ: Прямые совпадают.