Номер 2, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 2, страница 231.

Условие.

2. Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

2. Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

Система уравнений с двумя переменными (например, x и y) представляет собой набор из двух или более уравнений, для которых необходимо найти общие решения. То есть, нужно найти такие пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому уравнению в системе одновременно. Общий вид системы из двух уравнений с двумя переменными можно записать так:

$ \begin{cases} F(x, y) = 0 \\ G(x, y) = 0 \end{cases} $

Решением системы уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$, при подстановке которых вместо переменных ($x = x_0$, $y = y_0$) в каждое уравнение системы, мы получаем верное числовое равенство.

Рассмотрим на примере. Пусть дана система:

$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases} $

Проверим, является ли пара чисел $(1; 2)$ решением этой системы. Для этого подставим $x=1$ и $y=2$ в оба уравнения.

1. Первое уравнение: $1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$. Получаем $5 = 5$. Это верное равенство.

2. Второе уравнение: $3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$. Получаем $1 = 1$. Это также верное равенство.

Поскольку пара чисел $(1; 2)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением данной системы.

Теперь проверим пару $(3; 1)$.

1. Первое уравнение: $3 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5$. Получаем $5 = 5$. Верно.

2. Второе уравнение: $3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8$. Получаем $8 = 1$. Это неверное равенство.

Так как пара $(3; 1)$ не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением системы, несмотря на то, что удовлетворяет первому.

Геометрический смысл решения

Графиком уравнения с двумя переменными на координатной плоскости является некоторая линия (прямая, парабола, окружность и т.д.). Решение системы — это пара координат $(x; y)$, которая принадлежит графикам всех уравнений системы одновременно. Таким образом, с геометрической точки зрения, решение системы уравнений с двумя переменными — это координаты точки (или точек) пересечения графиков этих уравнений.

Ответ: Решением системы уравнений с двумя переменными является упорядоченная пара чисел, которая при подстановке в каждое уравнение системы обращает его в верное числовое равенство. Геометрически это координаты точек пересечения графиков всех уравнений, входящих в систему.