Номер 1209, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 27. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1209, страница 225.

Условие.

1209. Разложите на множители:

1) $6x^3 - 8x^2 + 3xy - 4y;$

2) $x^4 - 6x^2y + 9y^2 - 16;$

3) $\frac{125x^3}{27} - \frac{m^6n^9}{64};$

4) $c^2 - 2c - b^2 - 4b - 3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $6x^3 - 8x^2 + 3xy - 4y$

Для разложения на множители данного выражения используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(6x^3 - 8x^2) + (3xy - 4y)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $2x^2$, а во второй группе вынесем за скобки общий множитель $y$:

$2x^2(3x - 4) + y(3x - 4)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(3x - 4)$. Вынесем его за скобки:

$(3x - 4)(2x^2 + y)$

Ответ: $(3x - 4)(2x^2 + y)$

2) $x^4 - 6x^2y + 9y^2 - 16$

Заметим, что первые три слагаемых $x^4 - 6x^2y + 9y^2$ образуют полный квадрат разности. Это можно увидеть, применив формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = x^2$ и $b = 3y$:

$(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3y + (3y)^2 = (x^2 - 3y)^2$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$(x^2 - 3y)^2 - 16$

Это выражение представляет собой разность квадратов, так как $16 = 4^2$. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = x^2 - 3y$ и $B = 4$:

$((x^2 - 3y) - 4)((x^2 - 3y) + 4)$

Раскроем внутренние скобки:

$(x^2 - 3y - 4)(x^2 - 3y + 4)$

Ответ: $(x^2 - 3y - 4)(x^2 - 3y + 4)$

3) $\frac{125x^3}{27} - \frac{m^6n^9}{64}$

Данное выражение является разностью кубов. Представим каждое слагаемое в виде куба:

$\frac{125x^3}{27} = (\frac{5x}{3})^3$

$\frac{m^6n^9}{64} = \frac{(m^2)^3(n^3)^3}{4^3} = (\frac{m^2n^3}{4})^3$

Теперь применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \frac{5x}{3}$ и $b = \frac{m^2n^3}{4}$:

$(\frac{5x}{3} - \frac{m^2n^3}{4})((\frac{5x}{3})^2 + (\frac{5x}{3})(\frac{m^2n^3}{4}) + (\frac{m^2n^3}{4})^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(\frac{5x}{3} - \frac{m^2n^3}{4})(\frac{25x^2}{9} + \frac{5xm^2n^3}{12} + \frac{m^4n^6}{16})$

Ответ: $(\frac{5x}{3} - \frac{m^2n^3}{4})(\frac{25x^2}{9} + \frac{5xm^2n^3}{12} + \frac{m^4n^6}{16})$

4) $c^2 - 2c - b^2 - 4b - 3$

Для разложения на множители этого выражения используем метод выделения полного квадрата. Сгруппируем слагаемые с переменной $c$ и с переменной $b$. Представим $-3$ как $1 - 4$:

$c^2 - 2c - b^2 - 4b + 1 - 4$

Перегруппируем слагаемые так, чтобы выделить полные квадраты:

$(c^2 - 2c + 1) - (b^2 + 4b + 4)$

Первая скобка является квадратом разности $(c - 1)^2$. Вторая скобка является квадратом суммы $(b + 2)^2$:

$(c - 1)^2 - (b + 2)^2$

Полученное выражение является разностью квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = c - 1$ и $B = b + 2$:

$((c - 1) - (b + 2))((c - 1) + (b + 2))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(c - 1 - b - 2)(c - 1 + b + 2)$

$(c - b - 3)(c + b + 1)$

Ответ: $(c - b - 3)(c + b + 1)$