Страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1201. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, график которого проходит через точки $M (6; 0)$ и $K (0; 6)$.

Чтобы составить линейное уравнение с двумя переменными, график которого проходит через две заданные точки, можно использовать общий вид линейного уравнения $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $y$.

Нам даны две точки: $M(6; 0)$ и $K(0; 6)$. Поскольку график проходит через эти точки, их координаты должны удовлетворять искомому уравнению.

1. Подставим координаты точки $K(0; 6)$ в уравнение $y = kx + b$. Эта точка является точкой пересечения прямой с осью $y$ (так как абсцисса $x=0$), что позволяет сразу определить коэффициент $b$.
$6 = k \cdot 0 + b$
Отсюда следует, что $b = 6$.

2. Теперь, зная $b$, наше уравнение принимает вид $y = kx + 6$. Для нахождения коэффициента $k$ подставим в это уравнение координаты второй точки $M(6; 0)$.
$0 = k \cdot 6 + 6$

3. Решим полученное уравнение относительно $k$:
$6k = -6$
$k = \frac{-6}{6}$
$k = -1$

4. Теперь мы знаем оба коэффициента: $k = -1$ и $b = 6$. Подставим их в уравнение $y = kx + b$:
$y = -1 \cdot x + 6$
$y = -x + 6$

Это один из видов искомого линейного уравнения. Чтобы представить его в стандартном виде $ax + by = c$, перенесем слагаемое $-x$ в левую часть уравнения:
$x + y = 6$

Проверим правильность найденного уравнения. Подставим координаты обеих точек:
Для точки $M(6; 0)$: $6 + 0 = 6$. (Верно)
Для точки $K(0; 6)$: $0 + 6 = 6$. (Верно)
Обе точки удовлетворяют уравнению.

Ответ: $x + y = 6$

1202. Составьте уравнения, графики которых изображены на рисунке 80.

Рис. 80

d

$y = -x$

m

$x = -2$

a

$y = 2x + 1$

c

$y = x - 2$

a) Для нахождения уравнения прямой $a$ воспользуемся общей формулой для линейной функции $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью $y$.
1. Из графика видно, что прямая $a$ пересекает ось ординат (ось $y$) в точке $(0, 1)$. Это означает, что свободный член $b=1$.
2. Чтобы найти угловой коэффициент $k$, выберем еще одну точку, через которую проходит прямая. Например, точка с координатами $(-1, -2)$.
3. Угловой коэффициент $k$ можно вычислить по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, используя точки $(0, 1)$ и $(-1, -2)$: $k = \frac{-2 - 1}{-1 - 0} = \frac{-3}{-1} = 3$.
4. Подставив найденные значения $k=3$ и $b=1$ в уравнение прямой, получаем $y = 3x + 1$.
Ответ: $y = 3x + 1$

c) Аналогично найдем уравнение для прямой $c$.
1. Прямая $c$ пересекает ось $y$ в точке $(0, -2)$, следовательно, $b=-2$.
2. Выберем еще одну точку на прямой, например, $(2, -1)$.
3. Вычислим угловой коэффициент $k$ по точкам $(0, -2)$ и $(2, -1)$: $k = \frac{-1 - (-2)}{2 - 0} = \frac{-1 + 2}{2} = \frac{1}{2}$.
4. Уравнение прямой $c$ имеет вид $y = \frac{1}{2}x - 2$.
Ответ: $y = \frac{1}{2}x - 2$

d) Найдем уравнение для прямой $d$.
1. Прямая $d$ пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$, поэтому $b=1$.
2. В качестве второй точки возьмем точку пересечения с осью $x$, ее координаты $(1, 0)$.
3. Вычислим угловой коэффициент $k$ по точкам $(0, 1)$ и $(1, 0)$: $k = \frac{0 - 1}{1 - 0} = \frac{-1}{1} = -1$.
4. Уравнение прямой $d$ имеет вид $y = -x + 1$.
Ответ: $y = -x + 1$

m) Прямая $m$ является вертикальной.
1. Уравнение вертикальной прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — это абсцисса любой точки на этой прямой.
2. Из графика видно, что прямая $m$ проходит через точки с абсциссой $-2$, например, $(-2, 0)$, $(-2, 3)$ и т.д.
3. Следовательно, уравнение прямой $m$ — это $x = -2$.
Ответ: $x = -2$

1203. Составьте уравнения, графики которых изображены на рисунке 81.

Рис. 81

Линия n:

$y = -x + 3$

Линия m:

$y = 3x - 3$

Линия b:

$y = 2$

b
Прямая b является горизонтальной, она параллельна оси абсцисс (оси OX). Уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где c — это ордината любой точки на этой прямой. Из графика видно, что прямая b проходит через точку с координатами (0, 3). Следовательно, для всех точек на этой прямой ордината равна 3.
Таким образом, уравнение прямой b: $y = 3$.
Ответ: $y = 3$

n
Прямая n является наклонной, её уравнение можно представить в общем виде $y = kx + c$, где k — угловой коэффициент (тангенс угла наклона), а c — ордината точки пересечения с осью OY (y-перехват).
1. Найдем c. Прямая n пересекает ось OY в точке (0, 2). Следовательно, $c = 2$.
2. Найдем k. Для этого выберем две удобные точки на прямой, через которые она точно проходит. Возьмем точку пересечения с осью OY (0, 2) и точку пересечения с осью OX (3, 0).
Угловой коэффициент k вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Подставим координаты наших точек: $k = \frac{0 - 2}{3 - 0} = -\frac{2}{3}$.
3. Теперь составим уравнение прямой, подставив найденные значения k и c: $y = -\frac{2}{3}x + 2$.
Ответ: $y = -\frac{2}{3}x + 2$

m
Прямая m также является наклонной, и её уравнение имеет вид $y = kx + c$.
1. Найдем c. Прямая m пересекает ось OY в точке (0, -1). Значит, $c = -1$.
2. Найдем k. Возьмем две точки на прямой: точку пересечения с осью OY (0, -1) и еще одну точку, через которую проходит график, например, (1, 2).
Вычислим угловой коэффициент k по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Подставим координаты точек: $k = \frac{2 - (-1)}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3$.
3. Составим уравнение прямой m: $y = 3x - 1$.
Ответ: $y = 3x - 1$

1204. Сколько существует пар простых чисел $(x, y)$, являющихся решениями уравнения $5x - 6y = 3$?

Нам дано линейное диофантово уравнение $5x - 6y = 3$, где по условию переменные $x$ и $y$ должны быть простыми числами.

Преобразуем уравнение, выразив один из членов через другой:$5x = 6y + 3$

В правой части уравнения можно вынести за скобки общий множитель 3:$5x = 3(2y + 1)$

Из этого равенства следует, что левая часть, $5x$, должна быть кратна 3. Так как 5 — простое число и не делится на 3, то для того, чтобы произведение $5x$ делилось на 3, необходимо, чтобы $x$ делился на 3.

Согласно условию, $x$ является простым числом. Единственное простое число, которое кратно 3, — это само число 3. Таким образом, мы можем однозначно определить, что $x = 3$.

Теперь, зная значение $x$, подставим его в исходное уравнение, чтобы найти соответствующее значение $y$:$5(3) - 6y = 3$$15 - 6y = 3$

Решим полученное уравнение относительно $y$:$6y = 15 - 3$$6y = 12$$y = \frac{12}{6}$$y = 2$

Проверим, является ли найденное значение $y = 2$ простым числом. Да, 2 — это простое число.

Таким образом, мы нашли пару простых чисел $(3, 2)$, которая является решением уравнения. Поскольку значение $x=3$ было найдено из строгого логического условия делимости, других решений в простых числах для $x$ не существует, а значит, и для всей пары $(x, y)$ тоже.

Следовательно, существует только одна пара простых чисел, удовлетворяющая данному уравнению.

Ответ: 1.

1205. Две бригады изготовили 840 деталей, причём одна бригада изготовила на 80% больше деталей, чем другая. Сколько деталей изготовила каждая бригада?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество деталей, которое изготовила та бригада, которая произвела меньше продукции.

Вторая бригада, согласно условию, изготовила на 80% больше деталей. 80% от числа $x$ можно выразить как $0.8x$. Таким образом, вторая бригада изготовила $x + 0.8x$, что равно $1.8x$ деталей.

Суммарно обе бригады изготовили 840 деталей. На основе этого мы можем составить и решить уравнение:

$x + 1.8x = 840$

Сложим переменные в левой части уравнения:

$2.8x = 840$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2,8:

$x = \frac{840}{2.8}$

$x = \frac{8400}{28}$

$x = 300$

Итак, первая бригада (которая изготовила меньше) произвела 300 деталей.

Теперь найдем, сколько деталей изготовила вторая бригада:

$1.8x = 1.8 \times 300 = 540$ деталей.

Проверим наше решение: $300 + 540 = 840$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: одна бригада изготовила 300 деталей, другая — 540 деталей.

1206. Известно, что 4 одинаковых экскаватора могут вырыть котлован за 12 ч. За какое время 6 таких же экскаваторов выроют 3 таких котлована?

Для решения этой задачи определим объем работы, который выполняют экскаваторы. Объем работы можно измерить в условных единицах, например, в "экскаваторо-часах".

Решение:

Сначала вычислим общий объем работы, необходимый для рытья одного котлована. Известно, что 4 экскаватора справляются с этой задачей за 12 часов. Следовательно, общий объем работы равен произведению количества экскаваторов на затраченное время:
$W_1 = 4 \text{ экскаватора} \times 12 \text{ ч} = 48 \text{ экскаваторо-часов}$

Таким образом, работа по рытью одного котлована составляет 48 экскаваторо-часов.

Далее, необходимо найти общий объем работы для рытья трех таких котлованов. Поскольку котлованы одинаковые, объем работы увеличится в три раза:
$W_{общ} = 48 \text{ экскаваторо-часов/котлован} \times 3 \text{ котлована} = 144 \text{ экскаваторо-часа}$

Теперь этот общий объем работы в 144 экскаваторо-часа должны выполнить 6 экскаваторов. Чтобы найти искомое время, разделим общий объем работы на количество экскаваторов:
$T = \frac{144 \text{ экскаваторо-часа}}{6 \text{ экскаваторов}} = 24 \text{ часа}$

Ответ: 24 часа.

1207. Докажите, что значение выражения $2^{36} + 4^{100} - 2^{32} - 4^{98}$ кратно чис- лу:

1) 15;

2) 240.

Для доказательства преобразуем данное выражение. Обозначим его как $E$.
$E = 2^{36} + 4^{100} - 2^{32} - 4^{98}$
Представим слагаемые с основанием 4 как степени с основанием 2, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$4^{100} = (2^2)^{100} = 2^{2 \cdot 100} = 2^{200}$
$4^{98} = (2^2)^{98} = 2^{2 \cdot 98} = 2^{196}$
Подставим эти значения обратно в выражение:
$E = 2^{36} + 2^{200} - 2^{32} - 2^{196}$
Сгруппируем слагаемые с близкими показателями степени:
$E = (2^{36} - 2^{32}) + (2^{200} - 2^{196})$
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $2^{32}$, во второй — $2^{196}$.
$E = 2^{32}(2^{36-32} - 1) + 2^{196}(2^{200-196} - 1)$
$E = 2^{32}(2^4 - 1) + 2^{196}(2^4 - 1)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$
Теперь выражение принимает вид:
$E = 2^{32} \cdot 15 + 2^{196} \cdot 15$
Вынесем общий множитель 15 за скобки:
$E = 15 \cdot (2^{32} + 2^{196})$

1) Докажем, что значение выражения кратно 15.

Мы получили выражение $E = 15 \cdot (2^{32} + 2^{196})$.
Так как $2^{32}$ и $2^{196}$ являются целыми числами, их сумма $(2^{32} + 2^{196})$ также является целым числом.
Следовательно, исходное выражение представлено в виде произведения числа 15 и целого числа, а это по определению означает, что оно кратно 15.
Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

2) Докажем, что значение выражения кратно 240.

Разложим число 240 на множители: $240 = 15 \cdot 16$.
Нам нужно доказать, что выражение $E = 15 \cdot (2^{32} + 2^{196})$ кратно 240, то есть кратно $15 \cdot 16$.
Поскольку в выражении уже есть множитель 15, достаточно доказать, что второй множитель, $(2^{32} + 2^{196})$, кратен 16.
Рассмотрим сумму $(2^{32} + 2^{196})$.
Каждое слагаемое в этой сумме можно представить в виде произведения с множителем 16, так как $16 = 2^4$, а показатели степени 32 и 196 больше 4.
$2^{32} = 2^4 \cdot 2^{28} = 16 \cdot 2^{28}$. Это число кратно 16.
$2^{196} = 2^4 \cdot 2^{192} = 16 \cdot 2^{192}$. Это число также кратно 16.
Сумма двух чисел, каждое из которых кратно 16, также кратна 16.
Значит, $(2^{32} + 2^{196})$ кратно 16, и его можно представить в виде $16 \cdot k$, где $k = 2^{28} + 2^{192}$ — целое число.
Тогда исходное выражение равно:
$E = 15 \cdot (16 \cdot k) = (15 \cdot 16) \cdot k = 240 \cdot k$
Так как $k$ — целое число, то выражение $E$ кратно 240.
Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

1208. Решите уравнение:

1) $(x-8)^2 - (x-4)(x+4) = 0;$

2) $(4x-5)(4x+5) - (4x-1)^2 = 9-2x.$

1) $(x-8)^2 - (x-4)(x+4) = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

Первое слагаемое $(x-8)^2$ раскладывается как $x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 - 16x + 64$.

Второе слагаемое $(x-4)(x+4)$ раскладывается как $x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x^2 - 16x + 64) - (x^2 - 16) = 0$

Теперь раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$x^2 - 16x + 64 - x^2 + 16 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) - 16x + (64 + 16) = 0$

$-16x + 80 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-16x = -80$

Разделим обе части уравнения на -16, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-80}{-16}$

$x = 5$

Ответ: 5.

2) $(4x-5)(4x+5) - (4x-1)^2 = 9 - 2x$

В левой части уравнения также применим формулы сокращенного умножения: разность квадратов и квадрат разности.

Раскроем скобки:

Выражение $(4x-5)(4x+5)$ по формуле разности квадратов равно $(4x)^2 - 5^2 = 16x^2 - 25$.

Выражение $(4x-1)^2$ по формуле квадрата разности равно $(4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = 16x^2 - 8x + 1$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$(16x^2 - 25) - (16x^2 - 8x + 1) = 9 - 2x$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные:

$16x^2 - 25 - 16x^2 + 8x - 1 = 9 - 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(16x^2 - 16x^2) + 8x + (-25 - 1) = 9 - 2x$

$8x - 26 = 9 - 2x$

Теперь соберем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$8x + 2x = 9 + 26$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$10x = 35$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 10:

$x = \frac{35}{10}$

$x = 3,5$

Ответ: 3,5.

1209. Разложите на множители:

1) $6x^3 - 8x^2 + 3xy - 4y;$

2) $x^4 - 6x^2y + 9y^2 - 16;$

3) $\frac{125x^3}{27} - \frac{m^6n^9}{64};$

4) $c^2 - 2c - b^2 - 4b - 3.$

1) $6x^3 - 8x^2 + 3xy - 4y$

Для разложения на множители данного выражения используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(6x^3 - 8x^2) + (3xy - 4y)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $2x^2$, а во второй группе вынесем за скобки общий множитель $y$:

$2x^2(3x - 4) + y(3x - 4)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(3x - 4)$. Вынесем его за скобки:

$(3x - 4)(2x^2 + y)$

Ответ: $(3x - 4)(2x^2 + y)$

2) $x^4 - 6x^2y + 9y^2 - 16$

Заметим, что первые три слагаемых $x^4 - 6x^2y + 9y^2$ образуют полный квадрат разности. Это можно увидеть, применив формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = x^2$ и $b = 3y$:

$(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3y + (3y)^2 = (x^2 - 3y)^2$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$(x^2 - 3y)^2 - 16$

Это выражение представляет собой разность квадратов, так как $16 = 4^2$. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = x^2 - 3y$ и $B = 4$:

$((x^2 - 3y) - 4)((x^2 - 3y) + 4)$

Раскроем внутренние скобки:

$(x^2 - 3y - 4)(x^2 - 3y + 4)$

Ответ: $(x^2 - 3y - 4)(x^2 - 3y + 4)$

3) $\frac{125x^3}{27} - \frac{m^6n^9}{64}$

Данное выражение является разностью кубов. Представим каждое слагаемое в виде куба:

$\frac{125x^3}{27} = (\frac{5x}{3})^3$

$\frac{m^6n^9}{64} = \frac{(m^2)^3(n^3)^3}{4^3} = (\frac{m^2n^3}{4})^3$

Теперь применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \frac{5x}{3}$ и $b = \frac{m^2n^3}{4}$:

$(\frac{5x}{3} - \frac{m^2n^3}{4})((\frac{5x}{3})^2 + (\frac{5x}{3})(\frac{m^2n^3}{4}) + (\frac{m^2n^3}{4})^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(\frac{5x}{3} - \frac{m^2n^3}{4})(\frac{25x^2}{9} + \frac{5xm^2n^3}{12} + \frac{m^4n^6}{16})$

Ответ: $(\frac{5x}{3} - \frac{m^2n^3}{4})(\frac{25x^2}{9} + \frac{5xm^2n^3}{12} + \frac{m^4n^6}{16})$

4) $c^2 - 2c - b^2 - 4b - 3$

Для разложения на множители этого выражения используем метод выделения полного квадрата. Сгруппируем слагаемые с переменной $c$ и с переменной $b$. Представим $-3$ как $1 - 4$:

$c^2 - 2c - b^2 - 4b + 1 - 4$

Перегруппируем слагаемые так, чтобы выделить полные квадраты:

$(c^2 - 2c + 1) - (b^2 + 4b + 4)$

Первая скобка является квадратом разности $(c - 1)^2$. Вторая скобка является квадратом суммы $(b + 2)^2$:

$(c - 1)^2 - (b + 2)^2$

Полученное выражение является разностью квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = c - 1$ и $B = b + 2$:

$((c - 1) - (b + 2))((c - 1) + (b + 2))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(c - 1 - b - 2)(c - 1 + b + 2)$

$(c - b - 3)(c + b + 1)$

Ответ: $(c - b - 3)(c + b + 1)$