Номер 1207, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 27. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1207, страница 225.

Условие.

1207. Докажите, что значение выражения $2^{36} + 4^{100} - 2^{32} - 4^{98}$ кратно чис- лу:

1) 15;

2) 240.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства преобразуем данное выражение. Обозначим его как $E$.
$E = 2^{36} + 4^{100} - 2^{32} - 4^{98}$
Представим слагаемые с основанием 4 как степени с основанием 2, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$4^{100} = (2^2)^{100} = 2^{2 \cdot 100} = 2^{200}$
$4^{98} = (2^2)^{98} = 2^{2 \cdot 98} = 2^{196}$
Подставим эти значения обратно в выражение:
$E = 2^{36} + 2^{200} - 2^{32} - 2^{196}$
Сгруппируем слагаемые с близкими показателями степени:
$E = (2^{36} - 2^{32}) + (2^{200} - 2^{196})$
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $2^{32}$, во второй — $2^{196}$.
$E = 2^{32}(2^{36-32} - 1) + 2^{196}(2^{200-196} - 1)$
$E = 2^{32}(2^4 - 1) + 2^{196}(2^4 - 1)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$
Теперь выражение принимает вид:
$E = 2^{32} \cdot 15 + 2^{196} \cdot 15$
Вынесем общий множитель 15 за скобки:
$E = 15 \cdot (2^{32} + 2^{196})$

1) Докажем, что значение выражения кратно 15.

Мы получили выражение $E = 15 \cdot (2^{32} + 2^{196})$.
Так как $2^{32}$ и $2^{196}$ являются целыми числами, их сумма $(2^{32} + 2^{196})$ также является целым числом.
Следовательно, исходное выражение представлено в виде произведения числа 15 и целого числа, а это по определению означает, что оно кратно 15.
Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

2) Докажем, что значение выражения кратно 240.

Разложим число 240 на множители: $240 = 15 \cdot 16$.
Нам нужно доказать, что выражение $E = 15 \cdot (2^{32} + 2^{196})$ кратно 240, то есть кратно $15 \cdot 16$.
Поскольку в выражении уже есть множитель 15, достаточно доказать, что второй множитель, $(2^{32} + 2^{196})$, кратен 16.
Рассмотрим сумму $(2^{32} + 2^{196})$.
Каждое слагаемое в этой сумме можно представить в виде произведения с множителем 16, так как $16 = 2^4$, а показатели степени 32 и 196 больше 4.
$2^{32} = 2^4 \cdot 2^{28} = 16 \cdot 2^{28}$. Это число кратно 16.
$2^{196} = 2^4 \cdot 2^{192} = 16 \cdot 2^{192}$. Это число также кратно 16.
Сумма двух чисел, каждое из которых кратно 16, также кратна 16.
Значит, $(2^{32} + 2^{196})$ кратно 16, и его можно представить в виде $16 \cdot k$, где $k = 2^{28} + 2^{192}$ — целое число.
Тогда исходное выражение равно:
$E = 15 \cdot (16 \cdot k) = (15 \cdot 16) \cdot k = 240 \cdot k$
Так как $k$ — целое число, то выражение $E$ кратно 240.
Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.