Номер 1212, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 27. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1212, страница 226.

Условие.

1212. Сумма 100 разных натуральных чисел равна 5051. Найдите эти числа.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи найдем минимально возможную сумму 100 различных натуральных чисел. Чтобы сумма была минимальной, нужно взять самые маленькие различные натуральные числа, то есть последовательность чисел от 1 до 100.

Сумму первых 100 натуральных чисел можно вычислить по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Где $n=100$ — количество чисел, $a_1=1$ — первое число, $a_{100}=100$ — последнее число.

$S_{100} = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = \frac{101 \cdot 100}{2} = 101 \cdot 50 = 5050$

Итак, наименьшая возможная сумма 100 различных натуральных чисел равна 5050.

По условию задачи, сумма равна 5051. Найдем разницу между заданной суммой и минимальной:

$5051 - 5050 = 1$

Это означает, что наш набор чисел должен иметь сумму на 1 больше, чем базовый набор {1, 2, 3, ..., 100}. Чтобы этого достичь, нам нужно увеличить общую сумму на 1, при этом сохранив условие, что все 100 чисел — различные натуральные числа.

Мы можем добиться этого, увеличив одно из чисел в нашем базовом наборе на 1.

Однако, если мы увеличим на 1 любое число $k$ из набора {1, 2, ..., 99}, оно станет равным $k+1$. Но число $k+1$ уже есть в этом наборе, что приведет к повторению чисел. Например, если заменить 45 на 46, в наборе окажутся две 46, что противоречит условию.

Единственный вариант, при котором числа останутся различными, — это увеличить на 1 самое большое число в наборе, то есть 100.

Заменим число 100 на $100 + 1 = 101$.

Новый набор чисел будет: {1, 2, 3, ..., 99, 101}.

Этот набор удовлетворяет всем условиям:

• Он содержит 100 чисел.
• Все числа являются натуральными.
• Все числа различны (число 100 было заменено на 101, которого не было в наборе).
• Сумма этих чисел равна $5050 - 100 + 101 = 5051$.

Данное решение является единственным, так как любое другое изменение базового набора для увеличения суммы на 1 (например, увеличение одного числа на 2 и уменьшение другого на 1) нарушило бы уникальность чисел или привело бы к большему изменению суммы.

Ответ: 1, 2, 3, ..., 99, 101.