Номер 4, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 4, страница 231.

Условие.

4. В чём суть графического метода решения систем уравнений с двумя переменными?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы найти решение системы путем построения графиков каждого уравнения на одной координатной плоскости и определения координат их точек пересечения.

Рассмотрим общую систему из двух уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:

$ \begin{cases} F_1(x, y) = 0 \\ F_2(x, y) = 0 \end{cases} $

Каждое уравнение в этой системе можно рассматривать как множество точек на координатной плоскости $Oxy$, которые образуют определенную линию (например, прямую, параболу, окружность, гиперболу). Координаты $(x, y)$ любой точки, лежащей на этой линии, являются решением соответствующего уравнения.

Решением системы уравнений называется такая пара чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в каждое уравнение системы обращает его в верное числовое равенство. С геометрической точки зрения это означает, что точка с координатами $(x_0, y_0)$ должна принадлежать графику каждого из уравнений. Следовательно, искомые решения — это точки пересечения графиков уравнений системы.

Таким образом, алгоритм решения системы уравнений графическим методом состоит из следующих шагов:

1. В одной и той же системе координат построить график для каждого уравнения системы.
2. Найти координаты всех точек пересечения построенных графиков. Если точек пересечения нет, система не имеет решений. Если графики совпадают, система имеет бесконечное множество решений.
3. Записать найденные координаты в качестве ответа. Эти координаты и являются решениями системы.

В зависимости от взаимного расположения графиков возможны три случая (наиболее наглядно это видно на примере системы двух линейных уравнений, графиками которых являются прямые):

• Графики пересекаются в одной точке. Это означает, что система имеет единственное решение. Координаты этой точки пересечения $(x_0, y_0)$ и есть решение системы.
• Графики параллельны и не пересекаются. Это означает, что у графиков нет общих точек, и, следовательно, система не имеет решений.
• Графики совпадают. В этом случае любая точка одного графика является также и точкой другого. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений.

Следует отметить, что графический метод имеет существенный недостаток: он не всегда позволяет найти точное значение решения, особенно если оно выражено дробными или иррациональными числами. Точность результата сильно зависит от аккуратности построений. Однако этот метод очень нагляден и удобен для определения количества решений системы и для нахождения их приближенных значений.

Ответ: Суть графического метода решения систем уравнений с двумя переменными состоит в том, чтобы в одной системе координат построить графики функций, соответствующих каждому уравнению, и найти координаты точек их пересечения. Эти координаты и будут являться решениями данной системы.