Страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. В каком случае говорят, что надо решить систему уравнений?

1. Говорят, что надо решить систему уравнений, когда поставлена задача найти все общие решения для нескольких (двух или более) уравнений с несколькими переменными. Это означает, что мы ищем такой набор значений переменных, который при подстановке в каждое из уравнений системы превращает его в верное числовое равенство.

Решением системы уравнений, например, с двумя переменными $x$ и $y$, называется упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$, которая является решением каждого из уравнений системы. Если переменных три ($x, y, z$), то решением будет упорядоченная тройка чисел $(x_0; y_0; z_0)$ и так далее.

Таким образом, решить систему уравнений — это значит найти множество всех её решений или доказать, что решений не существует (в этом случае говорят, что система несовместна).

Рассмотрим пример системы из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Здесь задача состоит в том, чтобы найти такую пару чисел $(x; y)$, которая подходит и для первого, и для второго уравнения. Методом подстановки или сложения можно найти, что решением является пара $(2; 1)$. Проверим это:
Подставляем в первое уравнение: $2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$. Равенство верное.
Подставляем во второе уравнение: $2 - 1 = 1$. Равенство верное.
Поскольку пара чисел $(2; 1)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением данной системы. С геометрической точки зрения, мы нашли координаты точки пересечения двух прямых, которые заданы этими уравнениями.

Ответ: О необходимости решить систему уравнений говорят тогда, когда требуется найти такие значения переменных, которые одновременно удовлетворяют всем заданным уравнениям, входящим в систему.

2. Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

2. Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

Система уравнений с двумя переменными (например, x и y) представляет собой набор из двух или более уравнений, для которых необходимо найти общие решения. То есть, нужно найти такие пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому уравнению в системе одновременно. Общий вид системы из двух уравнений с двумя переменными можно записать так:

$ \begin{cases} F(x, y) = 0 \\ G(x, y) = 0 \end{cases} $

Решением системы уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$, при подстановке которых вместо переменных ($x = x_0$, $y = y_0$) в каждое уравнение системы, мы получаем верное числовое равенство.

Рассмотрим на примере. Пусть дана система:

$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases} $

Проверим, является ли пара чисел $(1; 2)$ решением этой системы. Для этого подставим $x=1$ и $y=2$ в оба уравнения.

1. Первое уравнение: $1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$. Получаем $5 = 5$. Это верное равенство.

2. Второе уравнение: $3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$. Получаем $1 = 1$. Это также верное равенство.

Поскольку пара чисел $(1; 2)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением данной системы.

Теперь проверим пару $(3; 1)$.

1. Первое уравнение: $3 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5$. Получаем $5 = 5$. Верно.

2. Второе уравнение: $3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8$. Получаем $8 = 1$. Это неверное равенство.

Так как пара $(3; 1)$ не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением системы, несмотря на то, что удовлетворяет первому.

Геометрический смысл решения

Графиком уравнения с двумя переменными на координатной плоскости является некоторая линия (прямая, парабола, окружность и т.д.). Решение системы — это пара координат $(x; y)$, которая принадлежит графикам всех уравнений системы одновременно. Таким образом, с геометрической точки зрения, решение системы уравнений с двумя переменными — это координаты точки (или точек) пересечения графиков этих уравнений.

Ответ: Решением системы уравнений с двумя переменными является упорядоченная пара чисел, которая при подстановке в каждое уравнение системы обращает его в верное числовое равенство. Геометрически это координаты точек пересечения графиков всех уравнений, входящих в систему.

3. Что означает решить систему уравнений?

Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений не существует.

Решением системы уравнений с несколькими переменными (например, $x$, $y$, ...) называется такой набор значений этих переменных, который при подстановке в каждое уравнение системы одновременно обращает его в верное числовое равенство.

Например, рассмотрим систему из двух уравнений с двумя переменными $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 8 \end{cases} $$ Решением этой системы является пара чисел $(5; 2)$, то есть $x=5$ и $y=2$. Чтобы убедиться в этом, нужно подставить эти значения в оба уравнения и проверить, получатся ли верные равенства.

• Проверка для первого уравнения: $5 + 2 = 7$. Получаем $7 = 7$. Это верное равенство.
• Проверка для второго уравнения: $2 \cdot 5 - 2 = 8$. Получаем $10 - 2 = 8$, или $8 = 8$. Это также верное равенство.

Поскольку пара чисел $(5; 2)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы. Процесс решения как раз и заключается в поиске всех таких пар (или троек, и т.д.) чисел.

Следует помнить, что система уравнений может:

• иметь одно единственное решение (как в примере выше);
• иметь бесконечно много решений;
• не иметь решений вовсе.

Таким образом, "решить систему" означает найти полное множество всех её решений.

Ответ: Решить систему уравнений — это найти все наборы значений переменных, которые являются решениями каждого из уравнений системы одновременно, либо установить, что таких наборов не существует.

4. В чём суть графического метода решения систем уравнений с двумя переменными?

Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы найти решение системы путем построения графиков каждого уравнения на одной координатной плоскости и определения координат их точек пересечения.

Рассмотрим общую систему из двух уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:

$ \begin{cases} F_1(x, y) = 0 \\ F_2(x, y) = 0 \end{cases} $

Каждое уравнение в этой системе можно рассматривать как множество точек на координатной плоскости $Oxy$, которые образуют определенную линию (например, прямую, параболу, окружность, гиперболу). Координаты $(x, y)$ любой точки, лежащей на этой линии, являются решением соответствующего уравнения.

Решением системы уравнений называется такая пара чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в каждое уравнение системы обращает его в верное числовое равенство. С геометрической точки зрения это означает, что точка с координатами $(x_0, y_0)$ должна принадлежать графику каждого из уравнений. Следовательно, искомые решения — это точки пересечения графиков уравнений системы.

Таким образом, алгоритм решения системы уравнений графическим методом состоит из следующих шагов:

1. В одной и той же системе координат построить график для каждого уравнения системы.
2. Найти координаты всех точек пересечения построенных графиков. Если точек пересечения нет, система не имеет решений. Если графики совпадают, система имеет бесконечное множество решений.
3. Записать найденные координаты в качестве ответа. Эти координаты и являются решениями системы.

В зависимости от взаимного расположения графиков возможны три случая (наиболее наглядно это видно на примере системы двух линейных уравнений, графиками которых являются прямые):

• Графики пересекаются в одной точке. Это означает, что система имеет единственное решение. Координаты этой точки пересечения $(x_0, y_0)$ и есть решение системы.
• Графики параллельны и не пересекаются. Это означает, что у графиков нет общих точек, и, следовательно, система не имеет решений.
• Графики совпадают. В этом случае любая точка одного графика является также и точкой другого. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений.

Следует отметить, что графический метод имеет существенный недостаток: он не всегда позволяет найти точное значение решения, особенно если оно выражено дробными или иррациональными числами. Точность результата сильно зависит от аккуратности построений. Однако этот метод очень нагляден и удобен для определения количества решений системы и для нахождения их приближенных значений.

Ответ: Суть графического метода решения систем уравнений с двумя переменными состоит в том, чтобы в одной системе координат построить графики функций, соответствующих каждому уравнению, и найти координаты точек их пересечения. Эти координаты и будут являться решениями данной системы.

5. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет общий вид:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

где $x$ и $y$ — переменные, а $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ — некоторые числа (коэффициенты). Каждое такое уравнение графически представляет собой прямую на координатной плоскости. Решение системы — это пара чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет обоим уравнениям, то есть является координатами точки пересечения этих прямых. Количество решений системы зависит от взаимного расположения этих двух прямых. Существует три возможных случая.

Система имеет единственное решение

Этот случай имеет место, когда графики уравнений (прямые) пересекаются в одной-единственной точке. Координаты этой точки и являются уникальным решением системы.

Алгебраически это означает, что угловые коэффициенты прямых не совпадают. Это условие можно выразить через коэффициенты уравнений: отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$.

$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

Пример:

$ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = -1 \end{cases} $

Здесь $\frac{2}{1} \neq \frac{1}{-3}$. Эта система имеет одно решение: $(x=2, y=1)$.

Ответ: одно решение.

Система не имеет решений

Этот случай соответствует двум параллельным прямым, которые не совпадают. Так как у параллельных прямых нет ни одной общей точки, то и система не имеет решений.

Алгебраически это означает, что угловые коэффициенты прямых равны, а их сдвиги по оси ординат (y-intercept) различны. В терминах коэффициентов это условие выглядит так: отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов.

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

Пример:

$ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases} $

Здесь $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$, но $\frac{1}{2} \neq \frac{4}{10}$. Эти прямые параллельны, и у системы нет решений.

Ответ: нет решений (ноль решений).

Система имеет бесконечно много решений

Этот случай имеет место, когда оба уравнения описывают одну и ту же прямую (прямые совпадают). Каждая точка этой прямой является решением системы.

Алгебраически это означает, что оба уравнения эквивалентны, то есть одно может быть получено из другого путем умножения на некоторое число. Все соответствующие коэффициенты пропорциональны.

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Пример:

$ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases} $

Здесь $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$. Второе уравнение — это первое, умноженное на 2. Они описывают одну и ту же прямую, поэтому система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесконечно много решений.

Таким образом, система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь либо одно решение, либо ни одного решения, либо бесконечно много решений.

6. Каково взаимное расположение прямых, являющихся графиками двух линейных уравнений с двумя переменными, составляющих систему уравнений, если:

1) система имеет единственное решение;

2) система не имеет решений;

3) система имеет бесконечно много решений?

1) система имеет единственное решение; Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая. Решение системы двух таких уравнений — это координаты общей точки их графиков. Если система имеет единственное решение, это означает, что графики-прямые имеют ровно одну общую точку. На плоскости это возможно только в том случае, если прямые пересекаются. Для системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ это соответствует условию, что отношение коэффициентов при переменных не равны: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
Ответ: Прямые пересекаются.

2) система не имеет решений; Если система не имеет решений, это означает, что у графиков уравнений нет ни одной общей точки. Геометрически это означает, что две прямые на плоскости не пересекаются и не совпадают, то есть они параллельны. У таких прямых одинаковые угловые коэффициенты, но разные точки пересечения с осями. Условие для коэффициентов системы: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.
Ответ: Прямые параллельны.

3) система имеет бесконечно много решений? Если система имеет бесконечно много решений, это означает, что любая точка, принадлежащая одной прямой, также принадлежит и второй. Такое возможно только в том случае, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Геометрически это означает, что прямые полностью накладываются друг на друга, то есть совпадают. В этом случае коэффициенты уравнений пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
Ответ: Прямые совпадают.

1213. Какая из пар чисел (-2; 1), (2; -1), (6; 4), (8; -4) является решением системы уравнений

$$\begin{cases} 3x - 8y = -14, \\ 4x + y = 28? \end{cases}$$

Для того чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением системы уравнений, необходимо подставить значения x и y из каждой пары в оба уравнения. Решением будет та пара, при подстановке которой оба уравнения превратятся в верные числовые равенства.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - 8y = -14 \\ 4x + y = 28 \end{cases} $$

Проверим каждую пару чисел последовательно.

(-2; 1)

Подставим $x = -2$ и $y = 1$ в уравнения системы:

1. Первое уравнение: $3 \cdot (-2) - 8 \cdot 1 = -6 - 8 = -14$. Равенство $-14 = -14$ верное.
2. Второе уравнение: $4 \cdot (-2) + 1 = -8 + 1 = -7$. Равенство $-7 = 28$ неверное.

Поскольку второе равенство неверно, данная пара чисел не является решением системы.

Ответ: Пара (-2; 1) не является решением.

(2; -1)

Подставим $x = 2$ и $y = -1$ в уравнения системы:

1. Первое уравнение: $3 \cdot 2 - 8 \cdot (-1) = 6 + 8 = 14$. Равенство $14 = -14$ неверное.

Поскольку уже первое равенство неверно, нет необходимости проверять второе уравнение. Данная пара чисел не является решением системы.

Ответ: Пара (2; -1) не является решением.

(6; 4)

Подставим $x = 6$ и $y = 4$ в уравнения системы:

1. Первое уравнение: $3 \cdot 6 - 8 \cdot 4 = 18 - 32 = -14$. Равенство $-14 = -14$ верное.
2. Второе уравнение: $4 \cdot 6 + 4 = 24 + 4 = 28$. Равенство $28 = 28$ верное.

Поскольку оба равенства верны, данная пара чисел является решением системы.

Ответ: Пара (6; 4) является решением.

(8; -4)

Подставим $x = 8$ и $y = -4$ в уравнения системы:

1. Первое уравнение: $3 \cdot 8 - 8 \cdot (-4) = 24 + 32 = 56$. Равенство $56 = -14$ неверное.

Поскольку первое равенство неверно, нет необходимости проверять второе уравнение. Данная пара чисел не является решением системы.

Ответ: Пара (8; -4) не является решением.

В результате проверки установлено, что решением системы уравнений является пара чисел (6; 4).

1214. Верно ли утверждение:

1) пара чисел (0; 0) не является решением системы уравнений

$\begin{cases} y - x = 5, \\ 3x + 2y = 4; \end{cases}$

2) пара чисел (-1; 2) является решением системы уравнений

$\begin{cases} x + y = 1, \\ 3x + 2y = -1; \end{cases}$

3) пара чисел (2; -1) является решением системы уравнений

$\begin{cases} 2y - x = -4, \\ 2x + 3y = 1; \end{cases}$

4) пара чисел (9; -1) не является решением системы уравнений

$\begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = 10; \end{cases}$

5) система уравнений $\begin{cases} 4x + 5y = 6, \\ 5y + 4x = 7 \end{cases}$ не имеет решений?

1) пара чисел (0; 0) не является решением системы уравнений $\begin{cases} y - x = 5, \\ 3x + 2y = 4; \end{cases}$

Чтобы проверить, является ли пара чисел $(0; 0)$ решением системы уравнений, подставим значения $x=0$ и $y=0$ в каждое уравнение.

Первое уравнение: $y - x = 5$. После подстановки получаем $0 - 0 = 0$. Равенство $0 = 5$ является неверным.

Поскольку пара чисел не удовлетворяет первому уравнению, она не является решением системы. Таким образом, исходное утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

2) пара чисел (–1; 2) является решением системы уравнений $\begin{cases} x + y = 1, \\ 3x + 2y = -1; \end{cases}$

Проверим, удовлетворяет ли пара чисел $(-1; 2)$ обоим уравнениям системы, подставив $x=-1$ и $y=2$.

Первое уравнение: $x + y = 1$. После подстановки получаем $-1 + 2 = 1$. Равенство $1 = 1$ является верным.

Второе уравнение: $3x + 2y = -1$. После подстановки получаем $3(-1) + 2(2) = -3 + 4 = 1$. Равенство $1 = -1$ является неверным.

Поскольку пара чисел не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением системы. Таким образом, исходное утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.

3) пара чисел (2; –1) является решением системы уравнений $\begin{cases} 2y - x = -4, \\ 2x + 3y = 1; \end{cases}$

Проверим, удовлетворяет ли пара чисел $(2; -1)$ обоим уравнениям системы, подставив $x=2$ и $y=-1$.

Первое уравнение: $2y - x = -4$. После подстановки получаем $2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4$. Равенство $-4 = -4$ является верным.

Второе уравнение: $2x + 3y = 1$. После подстановки получаем $2(2) + 3(-1) = 4 - 3 = 1$. Равенство $1 = 1$ является верным.

Поскольку пара чисел удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы. Таким образом, исходное утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

4) пара чисел (9; –1) не является решением системы уравнений $\begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = 10; \end{cases}$

Проверим, является ли пара чисел $(9; -1)$ решением системы, подставив $x=9$ и $y=-1$ в уравнения.

Первое уравнение: $x + y = 8$. После подстановки получаем $9 + (-1) = 8$. Равенство $8 = 8$ является верным.

Второе уравнение: $x - y = 10$. После подстановки получаем $9 - (-1) = 9 + 1 = 10$. Равенство $10 = 10$ является верным.

Поскольку пара чисел удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы. Утверждение, что эта пара не является решением, неверно.

Ответ: утверждение неверно.

5) система уравнений $\begin{cases} 4x + 5y = 6, \\ 5y + 4x = 7 \end{cases}$ не имеет решений?

Рассмотрим систему уравнений: $\begin{cases} 4x + 5y = 6 \\ 5y + 4x = 7 \end{cases}$.

Второе уравнение можно переписать, поменяв местами слагаемые в левой части (согласно переместительному закону сложения): $4x + 5y = 7$.

Таким образом, система эквивалентна следующей: $\begin{cases} 4x + 5y = 6 \\ 4x + 5y = 7 \end{cases}$.

Из этой системы следует, что одно и то же выражение $4x + 5y$ должно одновременно равняться 6 и 7. Так как $6 \ne 7$, это невозможно. Следовательно, не существует пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющей обоим уравнениям одновременно. Система не имеет решений.

Значит, исходное утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.