Страница 224 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1195. На каком из рисунков 77, а – г изображён график уравнения $x + y = 3$?

Рис. 77

а

б

в

г

Чтобы определить, какой из графиков соответствует уравнению $x + y = 3$, мы можем найти точки пересечения графика с осями координат. Для построения прямой достаточно двух точек.

1. Найдём точку пересечения с осью ординат (осью y).

В любой точке на оси y координата $x$ равна 0. Подставим $x = 0$ в уравнение:

$0 + y = 3$

$y = 3$

Таким образом, график должен проходить через точку с координатами $(0; 3)$. Рассматривая предложенные рисунки, мы видим, что этому условию удовлетворяют графики б и в.

2. Найдём точку пересечения с осью абсцисс (осью x).

В любой точке на оси x координата $y$ равна 0. Подставим $y = 0$ в уравнение:

$x + 0 = 3$

$x = 3$

Таким образом, график должен проходить через точку с координатами $(3; 0)$.

Теперь из двух оставшихся вариантов (б и в) выберем тот, который проходит через точку $(3; 0)$.

График б пересекает ось x в точке $(-3; 0)$, что не соответствует нашему результату.

График в пересекает ось x в точке $(3; 0)$ и ось y в точке $(0; 3)$, что полностью соответствует нашим расчетам.

Следовательно, график уравнения $x + y = 3$ изображен на рисунке в.

Ответ: в.

1196. На каком из рисунков 78, а – г изображён график уравнения $x - y = -5$?

Рис. 78

а

y, x, 0, 5, -5

б

y, x, 0, -5, -5

в

y, x, 0, -5, 5

г

y, x, 0, 5, 5

Чтобы определить, на каком из рисунков изображён график уравнения $x - y = -5$, найдём точки пересечения этого графика с осями координат. Для построения прямой достаточно двух точек.

1. Найдём точку пересечения с осью ординат (OY). Для этого подставим в уравнение значение $x=0$:

$0 - y = -5$

$-y = -5$

$y = 5$

Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, 5)$.

2. Найдём точку пересечения с осью абсцисс (OX). Для этого подставим в уравнение значение $y=0$:

$x - 0 = -5$

$x = -5$

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(-5, 0)$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных графиков на предмет прохождения через точки $(0, 5)$ и $(-5, 0)$.

а: График проходит через точки $(5, 0)$ и $(0, -5)$. Это не соответствует искомым координатам.

б: График проходит через точки $(-5, 0)$ и $(0, -5)$. Точка пересечения с осью Y не совпадает.

в: График проходит через точки $(-5, 0)$ и $(0, 5)$. Обе точки соответствуют нашим расчётам. Этот график является верным.

г: График проходит через точки $(5, 0)$ и $(0, 5)$. Точка пересечения с осью X не совпадает.

Ответ: в.

1197. Какая из прямых, изображённых на рисунке 79, является графиком уравнения:

1) $0x + y = -3;$

2) $2x - y = 1;$

3) $3x + 0y = 6;$

4) $x + 2y = 0? $

Рис. 79

1) Уравнение $0x + y = -3$ можно упростить до вида $y = -3$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, у которой ордината (координата y) любой точки равна $-3$. На рисунке 79 такой прямой является розовая прямая $d$, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку $(0, -3)$.
Ответ: прямая $d$.

2) Рассмотрим уравнение $2x - y = 1$. Для того чтобы определить, какая прямая ему соответствует, найдем координаты двух любых точек этой прямой. Удобнее всего выразить $y$ через $x$: $y = 2x - 1$.
Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
Если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. Получаем точку $(1, 1)$.
На рисунке 79 через точки с координатами $(0, -1)$ и $(1, 1)$ проходит синяя прямая $c$.
Ответ: прямая $c$.

3) Уравнение $3x + 0y = 6$ можно упростить до вида $3x = 6$, откуда $x = 2$. Это уравнение задает вертикальную прямую, у которой абсцисса (координата x) любой точки равна $2$. На рисунке 79 такой прямой является зеленая прямая $b$, которая параллельна оси ординат и проходит через точку $(2, 0)$.
Ответ: прямая $b$.

4) Рассмотрим уравнение $x + 2y = 0$. Найдем координаты двух точек этой прямой. Выразим $y$ через $x$: $2y = -x$, откуда $y = -0.5x$.
Если $x = 0$, то $y = -0.5 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$, то есть прямая проходит через начало координат.
Если $x = -2$, то $y = -0.5 \cdot (-2) = 1$. Получаем точку $(-2, 1)$.
На рисунке 79 через точки с координатами $(0, 0)$ и $(-2, 1)$ проходит красная прямая $a$.
Ответ: прямая $a$.

1198. Принадлежит ли графику уравнения $13x + 17y = -40$ хотя бы одна точка, у которой обе координаты положительные числа?

Нам дано линейное уравнение $13x + 17y = -40$. Необходимо определить, существует ли хотя бы одна точка $(x, y)$, принадлежащая графику этого уравнения, у которой обе координаты являются положительными числами.

Условие, что обе координаты положительны, означает, что $x > 0$ и $y > 0$.

Давайте проанализируем левую часть уравнения, $13x + 17y$, при условии, что $x$ и $y$ положительны.

1. Если $x$ — положительное число ($x > 0$), то произведение $13x$ также будет положительным, так как $13$ — положительное число. Следовательно, $13x > 0$.

2. Аналогично, если $y$ — положительное число ($y > 0$), то произведение $17y$ также будет положительным, так как $17$ — положительное число. Следовательно, $17y > 0$.

Теперь рассмотрим сумму этих двух слагаемых: $13x + 17y$. Так как и $13x$, и $17y$ являются положительными числами, их сумма также будет положительным числом. То есть, $13x + 17y > 0$.

Однако, согласно исходному уравнению, эта сумма должна быть равна $-40$. Мы получаем противоречие: левая часть уравнения должна быть положительной ($13x + 17y > 0$), а правая часть — отрицательная ($-40$). Положительное число не может быть равно отрицательному.

Из этого следует, что наше первоначальное предположение о существовании точки с положительными координатами было неверным.

Ответ: нет, на графике уравнения $13x + 17y = -40$ не существует ни одной точки, у которой обе координаты являются положительными числами.

1199.Принадлежит ли графику уравнения $4x - 8y = 7$ хотя бы одна точка, у которой обе координаты целые числа?

Для того чтобы определить, существуют ли на графике уравнения $4x - 8y = 7$ точки с целочисленными координатами, необходимо проверить, имеет ли это уравнение решения в целых числах.

Данное уравнение является линейным диофантовым уравнением вида $ax + by = c$, где $a=4$, $b=-8$ и $c=7$.

Рассмотрим левую часть уравнения: $4x - 8y$. Оба слагаемых, $4x$ и $-8y$, содержат общий множитель 4. Вынесем его за скобки: $4(x - 2y) = 7$

Предположим, что существуют целые числа $x$ и $y$, являющиеся решением этого уравнения. В таком случае, разность $(x - 2y)$ также будет целым числом, так как целые числа замкнуты относительно операций вычитания и умножения.

Пусть $k = x - 2y$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда наше уравнение принимает вид: $4k = 7$

Из этого следует, что левая часть уравнения ($4k$) всегда является целым числом, кратным 4 (а также четным числом). Правая же часть уравнения равна 7. Число 7 не делится нацело на 4, а также является нечетным.

Мы получили противоречие: четное число, кратное 4, не может быть равно нечетному числу 7. Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании целочисленных решений неверно.

Вывод: уравнение $4x - 8y = 7$ не имеет решений в целых числах, а значит, на его графике нет ни одной точки, обе координаты которой являются целыми числами.

Ответ: Нет, графику уравнения $4x - 8y = 7$ не принадлежит ни одна точка, у которой обе координаты — целые числа.

1200. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, график которого пересекает оси координат в точках:

1) $A (-4; 0)$ и $B (0; 2);$

2) $C (0; -3)$ и $D (5; 0).$

1) A(-4; 0) и B (0; 2);

Чтобы составить линейное уравнение, график которого проходит через две заданные точки, можно использовать уравнение прямой вида $y = kx + b$. В этом уравнении $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

Точка $B(0; 2)$ является точкой пересечения графика с осью ординат. Это значит, что при $x=0$, $y=2$. Подставив эти значения в уравнение $y = kx + b$, получим $2 = k \cdot 0 + b$, откуда следует, что $b=2$.

Теперь уравнение имеет вид: $y = kx + 2$.

Чтобы найти коэффициент $k$, используем координаты второй точки $A(-4; 0)$. Подставим $x = -4$ и $y = 0$ в наше уравнение: $0 = k \cdot (-4) + 2$

Решим полученное уравнение относительно $k$: $4k = 2$ $k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь, зная оба коэффициента, мы можем записать итоговое уравнение функции: $y = \frac{1}{2}x + 2$

Это и есть искомое линейное уравнение. Часто его представляют в общем виде $Ax + By + C = 0$. Для этого преобразуем наше уравнение. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: $2y = x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону: $x - 2y + 4 = 0$

Ответ: $x - 2y + 4 = 0$.

2) C (0; -3) и D (5; 0).

Действуем аналогично первому пункту, используя уравнение прямой $y = kx + b$.

Точка $C(0; -3)$ — это точка пересечения графика с осью $Oy$. Следовательно, коэффициент $b$ равен ординате этой точки: $b = -3$.

Уравнение принимает вид: $y = kx - 3$.

Для нахождения коэффициента $k$ подставим в это уравнение координаты точки $D(5; 0)$: $0 = k \cdot 5 - 3$

Решим это уравнение: $5k = 3$ $k = \frac{3}{5}$

Теперь подставим найденное значение $k$ обратно в уравнение прямой: $y = \frac{3}{5}x - 3$

Чтобы привести уравнение к общему виду, умножим обе части на 5: $5y = 3x - 15$

И перенесем все члены в одну сторону: $3x - 5y - 15 = 0$

Ответ: $3x - 5y - 15 = 0$.