Страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое уравнение называют линейным уравнением с двумя переменными?

Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение, которое можно представить в виде $ax + by = c$. В этом уравнении $x$ и $y$ являются переменными, а $a$, $b$ и $c$ — некоторыми числами (коэффициентами).

Ключевыми особенностями такого уравнения являются: во-первых, наличие двух переменных (например, $x$ и $y$); во-вторых, то, что обе переменные входят в уравнение в первой степени (то есть в уравнении нет $x^2$, $y^3$, $xy$ и подобных членов); в-третьих, хотя бы один из коэффициентов при переменных, $a$ или $b$, не должен быть равен нулю. Если $a=0$ и $b=0$ одновременно, то уравнение перестает быть уравнением с двумя переменными и вырождается в равенство $0 = c$.

Например, $5x - 2y = 1$, $x + y = 0$, $6x = 12$ (можно записать как $6x + 0y = 12$), и $-3y = 9$ (можно записать как $0x - 3y = 9$) — всё это примеры линейных уравнений с двумя переменными.

Решением такого уравнения называется пара значений переменных $(x; y)$, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство. Например, для уравнения $x + 3y = 10$ пара чисел $(4; 2)$ является решением, потому что $4 + 3 \cdot 2 = 10$. Обычно такое уравнение имеет бесконечное множество решений, которые на координатной плоскости образуют прямую линию.

Ответ: Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, $a, b, c$ — некоторые числа, и при этом хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю.

2. Что является графиком уравнения $ax + by = c$, если $b \neq 0$ или если $b = 0$ и $a \neq 0$?

Рассмотрим два случая, описанных в задании.

если b ≠ 0

В этом случае мы имеем уравнение $ax + by = c$, где коэффициент при $y$ не равен нулю. Это позволяет нам выразить переменную $y$ через $x$:
$by = c - ax$
$y = \frac{c - ax}{b}$
$y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$
Это уравнение вида $y = kx + m$, где угловой коэффициент $k = -\frac{a}{b}$ и свободный член $m = \frac{c}{b}$. Такое уравнение является каноническим уравнением прямой.
Если $a = 0$ (и $b \neq 0$), то уравнение примет вид $y = \frac{c}{b}$, что является уравнением прямой, параллельной оси OX (горизонтальная прямая).
Если $a \neq 0$ (и $b \neq 0$), то это уравнение наклонной прямой.
Таким образом, при условии $b \neq 0$ графиком уравнения всегда является прямая.
Ответ: прямая.

если b = 0 и a ≠ 0

В этом случае исходное уравнение $ax + by = c$ преобразуется подстановкой $b=0$:
$ax + 0 \cdot y = c$
$ax = c$
Поскольку по условию $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:
$x = \frac{c}{a}$
Это уравнение задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсцисса (координата $x$) постоянна и равна $\frac{c}{a}$, в то время как ордината (координата $y$) может быть любой.
Графиком такого уравнения является прямая, параллельная оси OY (вертикальная прямая), проходящая через точку $(\frac{c}{a}, 0)$ на оси OX.
Ответ: прямая, параллельная оси OY (вертикальная прямая).

3. Что является графиком уравнения $ax + by = c$ при $a = b = c = 0$?

Рассмотрим данное уравнение $ax + by = c$.

По условию задачи необходимо определить, что является графиком этого уравнения при $a = 0$, $b = 0$ и $c = 0$.

Подставим эти значения коэффициентов в исходное уравнение:

$0 \cdot x + 0 \cdot y = 0$

При умножении любого числа на ноль в результате получается ноль. Таким образом, левая часть уравнения обращается в ноль:

$0 + 0 = 0$

В итоге мы получаем тождество:

$0 = 0$

Это равенство является верным при любых значениях переменных $x$ и $y$. Это означает, что любая точка с координатами $(x, y)$ на координатной плоскости удовлетворяет данному уравнению.

Следовательно, графиком этого уравнения является множество всех точек координатной плоскости.

Ответ: вся координатная плоскость.

4. При каких значениях $a$, $b$ и $c$ уравнение $ax + by = c$ не имеет решений?

Рассмотрим линейное уравнение с двумя переменными $ax + by = c$. Чтобы определить, при каких значениях параметров $a$, $b$ и $c$ оно не имеет решений, проанализируем возможные случаи.

Случай 1: Хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю.

Если хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) отличен от нуля, уравнение представляет собой уравнение прямой на координатной плоскости.

• Если $b \neq 0$, уравнение можно преобразовать к виду $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$. Это уравнение является функцией, и для любого значения $x$ можно найти соответствующее значение $y$. Следовательно, уравнение имеет бесконечное множество решений (все точки на этой прямой).
• Если $b = 0$, но $a \neq 0$, уравнение принимает вид $ax = c$, откуда $x = \frac{c}{a}$. Это уравнение задает вертикальную прямую. Решениями являются все пары чисел $(\frac{c}{a}, y)$, где $y$ — любое действительное число. В этом случае также существует бесконечное множество решений.

Таким образом, если $a \neq 0$ или $b \neq 0$, уравнение всегда имеет решения.

Случай 2: Оба коэффициента $a$ и $b$ равны нулю.

Если $a = 0$ и $b = 0$, подставим эти значения в исходное уравнение:

$0 \cdot x + 0 \cdot y = c$

$0 = c$

Теперь результат зависит от значения параметра $c$:

• Если $c \neq 0$, мы получаем неверное равенство, например, $0 = 5$. Это равенство не может быть выполнено ни при каких значениях $x$ и $y$. В этом случае уравнение не имеет решений.
• Если $c = 0$, мы получаем верное равенство $0 = 0$. Это равенство истинно для абсолютно любой пары чисел $(x, y)$. В этом случае уравнение имеет бесконечное множество решений (любая точка плоскости является решением).

Из проведенного анализа следует, что уравнение $ax + by = c$ не имеет решений только в одном случае: когда коэффициенты при переменных равны нулю, а свободный член отличен от нуля.

Ответ: Уравнение не имеет решений при $a = 0$, $b = 0$ и $c \neq 0$.