Страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют решением уравнения с двумя переменными?

Решением уравнения с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называется упорядоченная пара значений этих переменных, которая при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство. Это значит, что если подставить в уравнение соответствующие значения $x$ и $y$ из этой пары, то левая и правая части уравнения станут равны.

Рассмотрим на примере уравнения $3x - y = 5$.

• Проверим, является ли пара чисел $(2; 1)$ решением. В этой паре $x=2$ и $y=1$. Подставим эти значения в уравнение:
  $3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5$.
  Мы получили верное равенство $5=5$. Следовательно, пара $(2; 1)$ является решением данного уравнения.
• Теперь проверим другую пару, например, $(1; -1)$. Здесь $x=1$ и $y=-1$. Подставим значения:
  $3 \cdot 1 - (-1) = 3 + 1 = 4$.
  Мы получили неверное равенство $4=5$. Следовательно, пара $(1; -1)$ не является решением уравнения.

Важно отметить, что уравнение с двумя переменными, как правило, имеет бесконечное множество решений. Каждое такое решение можно изобразить в виде точки на координатной плоскости. Совокупность всех таких точек образует график уравнения.

Ответ: Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное числовое равенство.

2. Что означает решить уравнение с двумя переменными?

Решить уравнение с двумя переменными (например, x и y) — это значит найти все упорядоченные пары чисел $(x_0; y_0)$, при подстановке которых в уравнение оно превращается в верное числовое равенство.

В отличие от уравнения с одной переменной, которое чаще всего имеет одно или несколько числовых решений (корней), уравнение с двумя переменными, как правило, имеет бесконечное множество решений. Каждое такое решение представляет собой именно пару чисел, где важен порядок следования.

Например, рассмотрим линейное уравнение с двумя переменными: $2x - y = 3$

Чтобы найти одно из решений, можно подставить произвольное значение для одной переменной и вычислить соответствующее значение для другой.

• Если мы возьмем $x = 1$, то получим $2(1) - y = 3$, откуда $2 - y = 3$, и $y = -1$. Таким образом, пара чисел $(1; -1)$ является решением этого уравнения.
• Если мы возьмем $x = 3$, то получим $2(3) - y = 3$, откуда $6 - y = 3$, и $y = 3$. Таким образом, пара $(3; 3)$ — это еще одно решение.
• А вот пара $(1; 1)$ решением не является, так как при подстановке $2(1) - 1 = 1$, а $1 \neq 3$.

Поскольку перечислить все решения, если их бесконечно много, невозможно, "решить уравнение" означает описать множество всех его решений. Это можно сделать двумя основными способами:

1. Аналитический способ: выразить одну переменную через другую. Для нашего примера $2x - y = 3$, мы можем записать $y = 2x - 3$. Эта формула задает все решения уравнения. Для любого значения x мы можем вычислить соответствующее значение y, и полученная пара $(x; 2x-3)$ будет решением.
2. Графический способ: построить график уравнения на координатной плоскости. Множество всех точек, координаты которых $(x; y)$ являются решениями уравнения, образуют его график (линию или кривую). Для уравнения $y = 2x - 3$ графиком будет прямая линия. Каждая точка этой прямой соответствует одному из бесконечного множества решений.

Ответ: Решить уравнение с двумя переменными — это найти множество всех упорядоченных пар значений переменных, которые обращают это уравнение в верное числовое равенство, и представить это множество решений аналитически (в виде формулы, связывающей переменные) или графически (в виде графика на координатной плоскости).

3. Сформулируйте свойства уравнений с двумя переменными.

Уравнения с двумя переменными, как и любые другие уравнения, обладают фундаментальными свойствами, которые позволяют выполнять над ними тождественные (равносильные) преобразования. Эти преобразования изменяют внешний вид уравнения, но сохраняют его множество решений. Основных свойств два:

Свойство 1. Перенос слагаемых

Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. В результате этого преобразования получается уравнение, равносильное исходному.

Например, в уравнении $2x + y = 7$ мы можем перенести слагаемое $2x$ из левой части в правую. Для этого нужно изменить его знак с «+» на «−». Получится новое уравнение:

$y = 7 - 2x$

Это уравнение равносильно исходному, то есть любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая первому уравнению, будет удовлетворять и второму, и наоборот. Это свойство лежит в основе метода выражения одной переменной через другую при решении систем уравнений.

Ответ: Любой член уравнения можно перенести из одной его части в другую, изменив знак этого члена на противоположный.

Свойство 2. Умножение и деление обеих частей уравнения

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Это преобразование также приводит к уравнению, равносильному исходному.

Например, рассмотрим уравнение $12x - 8y = 20$. Можно заметить, что все коэффициенты этого уравнения ($12, -8, 20$) кратны 4. Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 4:

$\frac{12x - 8y}{4} = \frac{20}{4}$

Выполнив деление каждого члена, получим:

$3x - 2y = 5$

Новое уравнение $3x - 2y = 5$ равносильно первоначальному, но работать с ним проще из-за меньших коэффициентов. Важно помнить, что деление на ноль недопустимо.

Ответ: Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, при этом получится равносильное уравнение.

4. Что называют графиком уравнения с двумя переменными?

Графиком уравнения с двумя переменными называют множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Рассмотрим это определение подробнее.

1. Уравнение с двумя переменными. Это уравнение вида $F(x, y) = 0$, где $x$ и $y$ — переменные. Например, $2x - y = 3$, $x^2 + y^2 = 25$ или $y = x^3$.

2. Решение уравнения. Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений этих переменных $(x_0; y_0)$, при подстановке которых в уравнение получается верное числовое равенство.

Например, для уравнения $2x - y = 3$:

• Пара $(2; 1)$ является решением, так как $2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Значит, равенство $3=3$ верное.
• Пара $(0; -3)$ является решением, так как $2 \cdot 0 - (-3) = 0 + 3 = 3$. Равенство $3=3$ верное.
• Пара $(1; 2)$ не является решением, так как $2 \cdot 1 - 2 = 0$. Равенство $0=3$ неверное.

3. Координатная плоскость и точки. Каждой упорядоченной паре чисел $(x; y)$ соответствует единственная точка на координатной плоскости с абсциссой $x$ и ординатой $y$.

4. Построение графика. Если мы найдем все пары чисел $(x; y)$, которые являются решениями нашего уравнения, и отметим соответствующие им точки на координатной плоскости, то совокупность (множество) этих точек и образует график уравнения. Как правило, эти точки образуют некоторую линию или фигуру (прямую, параболу, окружность и т.д.).

Таким образом, выполняется два взаимных условия:

• Если точка принадлежит графику уравнения, то ее координаты являются решением этого уравнения.
• Если пара чисел является решением уравнения, то точка с этими координатами принадлежит графику этого уравнения.

Ответ: Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых (пары чисел $x$ и $y$) обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

1112. Какие из данных уравнений являются уравнениями с двумя переменными:

1) $2x + y = 8;$

2) $x + y + z = 0;$

3) $a^2 - 3b = 8;$

4) $a^2 - 3b = 8c;$

5) $xy + 1 = 2;$

6) $5m - 3n = 6;$

7) $x^3 - 8x = 100;$

8) $x^3 - 8y = 100;$

9) $x^3 - 8xy = 100?$

Уравнение с двумя переменными — это равенство, которое содержит ровно две различные переменные (неизвестные). Проанализируем каждое из представленных уравнений на соответствие этому определению.

1) Уравнение $2x + y = 8$ содержит две переменные: $x$ и $y$. Следовательно, оно является уравнением с двумя переменными.
Ответ: является.

2) Уравнение $x + y + z = 0$ содержит три переменные: $x$, $y$ и $z$. Следовательно, оно не является уравнением с двумя переменными.
Ответ: не является.

3) Уравнение $a^2 - 3b = 8$ содержит две переменные: $a$ и $b$. Следовательно, оно является уравнением с двумя переменными.
Ответ: является.

4) Уравнение $a^2 - 3b = 8c$ содержит три переменные: $a$, $b$ и $c$. Следовательно, оно не является уравнением с двумя переменными.
Ответ: не является.

5) Уравнение $xy + 1 = 2$ содержит две переменные: $x$ и $y$. Следовательно, оно является уравнением с двумя переменными.
Ответ: является.

6) Уравнение $5m - 3n = 6$ содержит две переменные: $m$ и $n$. Следовательно, оно является уравнением с двумя переменными.
Ответ: является.

7) Уравнение $x^3 - 8x = 100$ содержит только одну переменную: $x$. Следовательно, оно не является уравнением с двумя переменными.
Ответ: не является.

8) Уравнение $x^3 - 8y = 100$ содержит две переменные: $x$ и $y$. Следовательно, оно является уравнением с двумя переменными.
Ответ: является.

9) Уравнение $x^3 - 8xy = 100$ содержит две переменные: $x$ и $y$. Следовательно, оно является уравнением с двумя переменными.
Ответ: является.

Таким образом, уравнениями с двумя переменными являются уравнения под номерами: 1, 3, 5, 6, 8, 9.

1113. Является ли пара чисел $(-2; 3)$ решением уравнения:

1) $4x + 3y = 1;$

2) $x^2 + 5 = y^2;$

3) $xy = 6?$

Чтобы определить, является ли пара чисел $(-2; 3)$ решением уравнения, нужно подставить значения $x = -2$ и $y = 3$ в каждое из предложенных уравнений и проверить, выполняется ли равенство.

1) Проверяем уравнение $4x + 3y = 1$.

Подставляем $x = -2$ и $y = 3$:

$4 \cdot (-2) + 3 \cdot 3 = -8 + 9 = 1$.

Получаем $1 = 1$.

Равенство верное, следовательно, пара чисел $(-2; 3)$ является решением данного уравнения.

Ответ: да, является.

2) Проверяем уравнение $x^2 + 5 = y^2$.

Подставляем $x = -2$ и $y = 3$:

$(-2)^2 + 5 = 4 + 5 = 9$.

$y^2 = 3^2 = 9$.

Получаем $9 = 9$.

Равенство верное, следовательно, пара чисел $(-2; 3)$ является решением данного уравнения.

Ответ: да, является.

3) Проверяем уравнение $xy = 6$.

Подставляем $x = -2$ и $y = 3$:

$(-2) \cdot 3 = -6$.

Получаем $-6 = 6$.

Равенство неверное. Следовательно, пара чисел $(-2; 3)$ не является решением данного уравнения.

Ответ: нет, не является.

1114. Какие из пар чисел (0; 1); (5; -4); (0; 1,2); (-1; 1); (1; -1) являются решениями уравнения:

1) $x^2 + 5y - 6 = 0$;

2) $xy + x = 0$?

Чтобы определить, является ли пара чисел решением уравнения, необходимо подставить значения 𝑥 и 𝑦 из каждой пары в уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

1) $x^2 + 5y - 6 = 0$

Проверим каждую пару чисел:

Для пары $(0; 1)$: подставляем $x=0, y=1$.
$0^2 + 5 \cdot 1 - 6 = 0 + 5 - 6 = -1$.
Так как $-1 \neq 0$, пара не является решением.

Для пары $(5; -4)$: подставляем $x=5, y=-4$.
$5^2 + 5 \cdot (-4) - 6 = 25 - 20 - 6 = -1$.
Так как $-1 \neq 0$, пара не является решением.

Для пары $(0; 1,2)$: подставляем $x=0, y=1,2$.
$0^2 + 5 \cdot 1,2 - 6 = 0 + 6 - 6 = 0$.
Так как $0 = 0$, пара является решением.

Для пары $(-1; 1)$: подставляем $x=-1, y=1$.
$(-1)^2 + 5 \cdot 1 - 6 = 1 + 5 - 6 = 0$.
Так как $0 = 0$, пара является решением.

Для пары $(1; -1)$: подставляем $x=1, y=-1$.
$1^2 + 5 \cdot (-1) - 6 = 1 - 5 - 6 = -10$.
Так как $-10 \neq 0$, пара не является решением.

Ответ: (0; 1,2)

1115. Принадлежит ли графику уравнения $2x^2 - y + 1 = 0$ точка:

1) A (-3; -17);

2) B (2; 9);

3) C (-2; 9);

4) D (-1; 4)?

Для того чтобы проверить, принадлежит ли точка графику уравнения, нужно подставить координаты этой точки в уравнение. Если получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит. Уравнение графика: $2x^2 - y + 1 = 0$.

1) A(-3; -17);

Подставляем координаты точки A, где $x = -3$ и $y = -17$, в уравнение:

$2 \cdot (-3)^2 - (-17) + 1 = 2 \cdot 9 + 17 + 1 = 18 + 17 + 1 = 36$

Полученное равенство $36 = 0$ является неверным, следовательно, точка A не принадлежит графику данного уравнения.

Ответ: не принадлежит.

2) B(2; 9);

Подставляем координаты точки B, где $x = 2$ и $y = 9$, в уравнение:

$2 \cdot 2^2 - 9 + 1 = 2 \cdot 4 - 9 + 1 = 8 - 9 + 1 = 0$

Полученное равенство $0 = 0$ является верным, следовательно, точка B принадлежит графику данного уравнения.

Ответ: принадлежит.

3) C(-2; 9);

Подставляем координаты точки C, где $x = -2$ и $y = 9$, в уравнение:

$2 \cdot (-2)^2 - 9 + 1 = 2 \cdot 4 - 9 + 1 = 8 - 9 + 1 = 0$

Полученное равенство $0 = 0$ является верным, следовательно, точка C принадлежит графику данного уравнения.

Ответ: принадлежит.

4) D(-1; 4)?

Подставляем координаты точки D, где $x = -1$ и $y = 4$, в уравнение:

$2 \cdot (-1)^2 - 4 + 1 = 2 \cdot 1 - 4 + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$

Полученное равенство $-1 = 0$ является неверным, следовательно, точка D не принадлежит графику данного уравнения.

Ответ: не принадлежит.

1116. Докажите, что график уравнения $xy - 12 = 0$ не проходит через точку:

1) A $(3; -4)$;

2) B $(-2; 6)$;

3) C $(7; 2)$.

Для того чтобы доказать, что график уравнения не проходит через определенную точку, необходимо подставить координаты этой точки (x; y) в уравнение. Если в результате получится неверное равенство, то точка не принадлежит графику.

Исходное уравнение: $xy - 12 = 0$.

1) A (3; -4);
Подставим координаты точки $A$ ($x=3$, $y=-4$) в уравнение:
$3 \cdot (-4) - 12 = -12 - 12 = -24$.
Поскольку $-24 \neq 0$, равенство не выполняется, следовательно, точка $A$ не лежит на графике данного уравнения.
Ответ: Доказано, что график уравнения $xy - 12 = 0$ не проходит через точку A (3; -4).

2) B (-2; 6);
Подставим координаты точки $B$ ($x=-2$, $y=6$) в уравнение:
$(-2) \cdot 6 - 12 = -12 - 12 = -24$.
Поскольку $-24 \neq 0$, равенство не выполняется, следовательно, точка $B$ не лежит на графике данного уравнения.
Ответ: Доказано, что график уравнения $xy - 12 = 0$ не проходит через точку B (-2; 6).

3) C (7; 2).
Подставим координаты точки $C$ ($x=7$, $y=2$) в уравнение:
$7 \cdot 2 - 12 = 14 - 12 = 2$.
Поскольку $2 \neq 0$, равенство не выполняется, следовательно, точка $C$ не лежит на графике данного уравнения.
Ответ: Доказано, что график уравнения $xy - 12 = 0$ не проходит через точку C (7; 2).

1117. Проходит ли через начало координат график уравнения:

1) $12x + 17y = 0;$

2) $x^2 - xy + 2 = 0;$

3) $x^3 - 4y = y^2 + 3x?$

Чтобы определить, проходит ли график уравнения через начало координат, необходимо подставить в это уравнение координаты начала координат, то есть точку с координатами $(0; 0)$. Если после подстановки значений $x=0$ и $y=0$ получится верное числовое равенство, то график проходит через начало координат. В противном случае — не проходит.

1) Проверим уравнение $12x + 17y = 0$.

Подставляем $x=0$ и $y=0$ в уравнение:

$12 \cdot 0 + 17 \cdot 0 = 0$

$0 + 0 = 0$

$0 = 0$

Мы получили верное числовое равенство. Следовательно, график данного уравнения проходит через начало координат.

Ответ: да, проходит.

2) Проверим уравнение $x^2 - xy + 2 = 0$.

Подставляем $x=0$ и $y=0$ в уравнение:

$0^2 - 0 \cdot 0 + 2 = 0$

$0 - 0 + 2 = 0$

$2 = 0$

Мы получили неверное числовое равенство. Следовательно, график данного уравнения не проходит через начало координат.

Ответ: нет, не проходит.

3) Проверим уравнение $x^3 - 4y = y^2 + 3x$.

Подставляем $x=0$ и $y=0$ в уравнение:

$0^3 - 4 \cdot 0 = 0^2 + 3 \cdot 0$

$0 - 0 = 0 + 0$

$0 = 0$

Мы получили верное числовое равенство. Следовательно, график данного уравнения проходит через начало координат.

Ответ: да, проходит.

1118. Укажите какие-нибудь три решения уравнения:

1) $x-y=10;$

2) $x=4y;$

3) $2x^2+y=20.$

1) $x - y = 10;$

Решением уравнения с двумя переменными является любая пара чисел $(x; y)$, которая обращает уравнение в верное равенство. Чтобы найти три таких решения, можно выразить одну переменную через другую. В данном случае удобно выразить $x$ через $y$: $x = 10 + y$. Теперь будем подставлять произвольные значения для $y$ и вычислять соответствующие значения $x$.

1. Пусть $y=0$. Тогда $x = 10 + 0 = 10$. Получаем решение — пару чисел $(10; 0)$.
Проверка: Подставим найденные значения в исходное уравнение: $10 - 0 = 10$. Верно.

2. Пусть $y=5$. Тогда $x = 10 + 5 = 15$. Получаем решение — пару чисел $(15; 5)$.
Проверка: $15 - 5 = 10$. Верно.

3. Пусть $y=-2$. Тогда $x = 10 + (-2) = 8$. Получаем решение — пару чисел $(8; -2)$.
Проверка: $8 - (-2) = 8 + 2 = 10$. Верно.

Ответ: например, $(10; 0)$, $(15; 5)$, $(8; -2)$.

2) $x = 4y;$

В этом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Будем выбирать произвольные значения для $y$ и вычислять соответствующие значения $x$.

1. Пусть $y=1$. Тогда $x = 4 \cdot 1 = 4$. Решение: $(4; 1)$.
Проверка: $4 = 4 \cdot 1$. Верно.

2. Пусть $y=0$. Тогда $x = 4 \cdot 0 = 0$. Решение: $(0; 0)$.
Проверка: $0 = 4 \cdot 0$. Верно.

3. Пусть $y=-3$. Тогда $x = 4 \cdot (-3) = -12$. Решение: $(-12; -3)$.
Проверка: $-12 = 4 \cdot (-3)$. Верно.

Ответ: например, $(4; 1)$, $(0; 0)$, $(-12; -3)$.

3) $2x^2 + y = 20.$

Для удобства нахождения решений выразим переменную $y$ через $x$: $y = 20 - 2x^2$. Теперь будем выбирать произвольные значения для $x$ и вычислять соответствующие значения $y$.

1. Пусть $x=0$. Тогда $y = 20 - 2 \cdot 0^2 = 20 - 0 = 20$. Решение: $(0; 20)$.
Проверка: $2 \cdot 0^2 + 20 = 0 + 20 = 20$. Верно.

2. Пусть $x=1$. Тогда $y = 20 - 2 \cdot 1^2 = 20 - 2 = 18$. Решение: $(1; 18)$.
Проверка: $2 \cdot 1^2 + 18 = 2 + 18 = 20$. Верно.

3. Пусть $x=-3$. Тогда $y = 20 - 2 \cdot (-3)^2 = 20 - 2 \cdot 9 = 20 - 18 = 2$. Решение: $(-3; 2)$.
Проверка: $2 \cdot (-3)^2 + 2 = 2 \cdot 9 + 2 = 18 + 2 = 20$. Верно.

Ответ: например, $(0; 20)$, $(1; 18)$, $(-3; 2)$.

1119. Укажите какие-нибудь три решения уравнения:

1) $x + y = 1$;

2) $5x - y = 2$.

1)

Чтобы найти решения уравнения $x + y = 1$, необходимо найти такие пары чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют этому равенству. Поскольку это линейное уравнение с двумя переменными, оно имеет бесконечное множество решений. Мы можем найти некоторые из них, выразив одну переменную через другую. Выразим $y$ через $x$: $y = 1 - x$.

Теперь выберем произвольные значения для $x$ и вычислим соответствующие им значения $y$.

Решение 1:
Пусть $x = 0$. Тогда $y = 1 - 0 = 1$.
Получаем пару чисел $(0, 1)$.
Проверка: $0 + 1 = 1$. Верно.

Решение 2:
Пусть $x = 1$. Тогда $y = 1 - 1 = 0$.
Получаем пару чисел $(1, 0)$.
Проверка: $1 + 0 = 1$. Верно.

Решение 3:
Пусть $x = -2$. Тогда $y = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$.
Получаем пару чисел $(-2, 3)$.
Проверка: $-2 + 3 = 1$. Верно.

Ответ: $(0, 1)$; $(1, 0)$; $(-2, 3)$.

2)

Рассмотрим уравнение $5x - y = 2$. Аналогично предыдущему пункту, найдем три пары чисел $(x, y)$, являющиеся решениями. Сначала выразим $y$ через $x$: $-y = 2 - 5x$, что эквивалентно $y = 5x - 2$.

Теперь подставим произвольные значения $x$ и найдем соответствующие значения $y$.

Решение 1:
Пусть $x = 0$. Тогда $y = 5 \cdot 0 - 2 = -2$.
Получаем пару чисел $(0, -2)$.
Проверка: $5(0) - (-2) = 0 + 2 = 2$. Верно.

Решение 2:
Пусть $x = 1$. Тогда $y = 5 \cdot 1 - 2 = 3$.
Получаем пару чисел $(1, 3)$.
Проверка: $5(1) - 3 = 5 - 3 = 2$. Верно.

Решение 3:
Пусть $x = 2$. Тогда $y = 5 \cdot 2 - 2 = 10 - 2 = 8$.
Получаем пару чисел $(2, 8)$.
Проверка: $5(2) - 8 = 10 - 8 = 2$. Верно.

Ответ: $(0, -2)$; $(1, 3)$; $(2, 8)$.

1120. График уравнения $4x + 3y = 30$ проходит через точку $A (6; b)$. Чему равно значение $b$?

По условию задачи, график уравнения $4x + 3y = 30$ проходит через точку $A(6; b)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению. Чтобы найти значение b, нужно подставить координаты точки $A$ в уравнение.

В точке $A(6; b)$ координата $x$ равна 6, а координата $y$ равна b.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$4 \cdot 6 + 3 \cdot b = 30$

Выполним умножение:

$24 + 3b = 30$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно переменной b. Перенесем число 24 из левой части уравнения в правую, изменив его знак:

$3b = 30 - 24$

$3b = 6$

Чтобы найти b, разделим обе части уравнения на 3:

$b = \frac{6}{3}$

$b = 2$

Следовательно, значение b равно 2.

Ответ: 2

1121. График уравнения $7x - 5y = 47$ проходит через точку $B(a; -1)$. Чему равно значение $a$?

Поскольку график уравнения $7x - 5y = 47$ проходит через точку $B(a; -1)$, координаты этой точки должны удовлетворять данному уравнению. Это означает, что если мы подставим в уравнение значения $x=a$ и $y=-1$, то получим верное равенство.

Выполним подстановку координат точки $B$ в уравнение:
$7 \cdot a - 5 \cdot (-1) = 47$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $a$. Сначала упростим левую часть:
$7a + 5 = 47$

Далее, перенесем 5 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$7a = 47 - 5$
$7a = 42$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 7:
$a = \frac{42}{7}$
$a = 6$

Ответ: 6