Номер 3, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 3, страница 214.

Условие.

3. Сформулируйте свойства уравнений с двумя переменными.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Уравнения с двумя переменными, как и любые другие уравнения, обладают фундаментальными свойствами, которые позволяют выполнять над ними тождественные (равносильные) преобразования. Эти преобразования изменяют внешний вид уравнения, но сохраняют его множество решений. Основных свойств два:

Свойство 1. Перенос слагаемых

Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. В результате этого преобразования получается уравнение, равносильное исходному.

Например, в уравнении $2x + y = 7$ мы можем перенести слагаемое $2x$ из левой части в правую. Для этого нужно изменить его знак с «+» на «−». Получится новое уравнение:

$y = 7 - 2x$

Это уравнение равносильно исходному, то есть любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая первому уравнению, будет удовлетворять и второму, и наоборот. Это свойство лежит в основе метода выражения одной переменной через другую при решении систем уравнений.

Ответ: Любой член уравнения можно перенести из одной его части в другую, изменив знак этого члена на противоположный.

Свойство 2. Умножение и деление обеих частей уравнения

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Это преобразование также приводит к уравнению, равносильному исходному.

Например, рассмотрим уравнение $12x - 8y = 20$. Можно заметить, что все коэффициенты этого уравнения ($12, -8, 20$) кратны 4. Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 4:

$\frac{12x - 8y}{4} = \frac{20}{4}$

Выполнив деление каждого члена, получим:

$3x - 2y = 5$

Новое уравнение $3x - 2y = 5$ равносильно первоначальному, но работать с ним проще из-за меньших коэффициентов. Важно помнить, что деление на ноль недопустимо.

Ответ: Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, при этом получится равносильное уравнение.