Номер 2, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 2, страница 214.

Условие.

2. Что означает решить уравнение с двумя переменными?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решить уравнение с двумя переменными (например, x и y) — это значит найти все упорядоченные пары чисел $(x_0; y_0)$, при подстановке которых в уравнение оно превращается в верное числовое равенство.

В отличие от уравнения с одной переменной, которое чаще всего имеет одно или несколько числовых решений (корней), уравнение с двумя переменными, как правило, имеет бесконечное множество решений. Каждое такое решение представляет собой именно пару чисел, где важен порядок следования.

Например, рассмотрим линейное уравнение с двумя переменными: $2x - y = 3$

Чтобы найти одно из решений, можно подставить произвольное значение для одной переменной и вычислить соответствующее значение для другой.

• Если мы возьмем $x = 1$, то получим $2(1) - y = 3$, откуда $2 - y = 3$, и $y = -1$. Таким образом, пара чисел $(1; -1)$ является решением этого уравнения.
• Если мы возьмем $x = 3$, то получим $2(3) - y = 3$, откуда $6 - y = 3$, и $y = 3$. Таким образом, пара $(3; 3)$ — это еще одно решение.
• А вот пара $(1; 1)$ решением не является, так как при подстановке $2(1) - 1 = 1$, а $1 \neq 3$.

Поскольку перечислить все решения, если их бесконечно много, невозможно, "решить уравнение" означает описать множество всех его решений. Это можно сделать двумя основными способами:

1. Аналитический способ: выразить одну переменную через другую. Для нашего примера $2x - y = 3$, мы можем записать $y = 2x - 3$. Эта формула задает все решения уравнения. Для любого значения x мы можем вычислить соответствующее значение y, и полученная пара $(x; 2x-3)$ будет решением.
2. Графический способ: построить график уравнения на координатной плоскости. Множество всех точек, координаты которых $(x; y)$ являются решениями уравнения, образуют его график (линию или кривую). Для уравнения $y = 2x - 3$ графиком будет прямая линия. Каждая точка этой прямой соответствует одному из бесконечного множества решений.

Ответ: Решить уравнение с двумя переменными — это найти множество всех упорядоченных пар значений переменных, которые обращают это уравнение в верное числовое равенство, и представить это множество решений аналитически (в виде формулы, связывающей переменные) или графически (в виде графика на координатной плоскости).