Страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. При каком значении аргумента значение функции $y = -1,5x + 4$ равно -2?

А) 4

Б) -4

В) 2

Г) -2

По условию задачи, необходимо найти значение аргумента (переменной $x$), при котором значение функции $y = -1,5x + 4$ будет равно -2.

Для этого мы подставляем заданное значение $y = -2$ в уравнение функции:

$-2 = -1,5x + 4$

Теперь нужно решить это линейное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть уравнения, а числовое значение -2 — в правую часть. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный:

$1,5x = 4 + 2$

Выполним сложение в правой части:

$1,5x = 6$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 1,5:

$x = \frac{6}{1,5}$

Для удобства вычисления можно умножить числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы избавиться от десятичного знака в знаменателе:

$x = \frac{6 \cdot 10}{1,5 \cdot 10} = \frac{60}{15}$

Выполним деление:

$x = 4$

Следовательно, при значении аргумента $x=4$ значение функции равно -2. Этот результат соответствует варианту А).

Ответ: 4

2. Среди данных функций укажите прямую пропорциональность:

А) $y = 12 + x$

Б) $y = 12$

В) $y = \frac{12}{x}$

Г) $y = 12x$

Прямая пропорциональность — это зависимость между двумя величинами, при которой их отношение постоянно. Она описывается формулой вида $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности, не равный нулю ($k \neq 0$). Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, проходящая через начало координат.

Проанализируем каждую из предложенных функций:

А) $y = 12 + x$.
Это линейная функция, которая записывается в общем виде как $y = mx + b$. В данном случае $m=1$ и $b=12$. Поскольку свободный член $b$ не равен нулю, график этой функции является прямой, но не проходит через начало координат (при $x=0, y=12$). Следовательно, это не прямая пропорциональность.
Ответ: не является прямой пропорциональностью.

Б) $y = 12$.
Это постоянная функция (константа), где значение $y$ не зависит от значения $x$. Графиком является горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс. Эта функция не соответствует виду $y = kx$.
Ответ: не является прямой пропорциональностью.

В) $y = \frac{12}{x}$.
Это функция обратной пропорциональности, которая описывается формулой вида $y = \frac{k}{x}$. В данном случае $k=12$. Здесь при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается.
Ответ: не является прямой пропорциональностью.

Г) $y = 12x$.
Эта функция полностью соответствует определению прямой пропорциональности $y = kx$. Коэффициент пропорциональности здесь $k=12$. Графиком является прямая линия, проходящая через начало координат (если $x=0$, то $y = 12 \cdot 0 = 0$).
Ответ: является прямой пропорциональностью.

3. Какая из данных функций не является линейной?

А) $y = -2x + 9$

В) $y = -\frac{x}{2} + 9$

Б) $y = -\frac{2}{x} + 9$

Г) $y = 9 - 0,2x$

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые действительные числа (коэффициенты). Главной особенностью линейной функции является то, что переменная $x$ находится в первой степени и не стоит в знаменателе дроби. Графиком такой функции всегда является прямая линия.

Проанализируем каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

А) $y = -2x + 9$
Эта функция полностью соответствует стандартному виду линейной функции $y = kx + b$. Здесь угловой коэффициент $k = -2$, а свободный член $b = 9$. Следовательно, это линейная функция.

Б) $y = -\frac{2}{x} + 9$
В этой функции переменная $x$ находится в знаменателе. Это выражение можно записать как $y = -2x^{-1} + 9$. Степень переменной $x$ равна $-1$, что не соответствует определению линейной функции (где степень $x$ должна быть равна $1$). Эта функция является обратной пропорциональностью, сдвинутой на 9 единиц вверх по оси ординат. Ее график — гипербола, а не прямая. Следовательно, эта не линейная функция.

В) $y = -\frac{x}{2} + 9$
Данное уравнение можно переписать в стандартном виде: $y = (-\frac{1}{2})x + 9$. Здесь $k = -\frac{1}{2}$ и $b = 9$. Функция соответствует виду $y = kx + b$, поэтому она является линейной.

Г) $y = 9 - 0,2x$
Поменяв слагаемые местами, получим $y = -0,2x + 9$. Эта функция также соответствует стандартному виду $y = kx + b$, где $k = -0,2$ и $b = 9$. Следовательно, это линейная функция.

Таким образом, единственной функцией, не являющейся линейной, является функция в пункте Б, так как в ней переменная $x$ находится в знаменателе.

Ответ: Б

4. Через какую из данных точек проходит график функции $y = x^2 - 3$?

А) A (-3; 0)

Б) B (-3; 6)

В) C (-3; 3)

Г) D (-3; -12)

Чтобы определить, через какую из данных точек проходит график функции $y = x^2 - 3$, необходимо подставить координаты каждой точки в уравнение функции и проверить, выполняется ли равенство. Если при подстановке координат точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции получается верное числовое равенство $y_0 = x_0^2 - 3$, то точка принадлежит графику.

Проверим последовательно каждую из предложенных точек.

А) A (-3; 0)

Подставим координаты точки A, где $x = -3$ и $y = 0$, в уравнение функции:

$0 = (-3)^2 - 3$

$0 = 9 - 3$

$0 = 6$

Полученное равенство неверно. Следовательно, график функции не проходит через точку A.

Ответ: не проходит.

Б) B (-3; 6)

Подставим координаты точки B, где $x = -3$ и $y = 6$, в уравнение функции:

$6 = (-3)^2 - 3$

$6 = 9 - 3$

$6 = 6$

Полученное равенство верно. Следовательно, график функции проходит через точку B.

Ответ: проходит.

В) C (-3; 3)

Подставим координаты точки C, где $x = -3$ и $y = 3$, в уравнение функции:

$3 = (-3)^2 - 3$

$3 = 9 - 3$

$3 = 6$

Полученное равенство неверно. Следовательно, график функции не проходит через точку C.

Ответ: не проходит.

Г) D (-3; -12)

Подставим координаты точки D, где $x = -3$ и $y = -12$, в уравнение функции:

$-12 = (-3)^2 - 3$

$-12 = 9 - 3$

$-12 = 6$

Полученное равенство неверно. Следовательно, график функции не проходит через точку D.

Ответ: не проходит.

Таким образом, из всех предложенных вариантов только точка B(-3; 6) удовлетворяет уравнению функции, а значит, график функции проходит через нее.

5. Утром ученик пошёл в школу, а после уроков вернулся домой. На рисунке 64 изображён график зависимости расстояния между учеником и его домом от времени движения. Сколько часов ученик находился в школе?

Рис. 64

График:

Ось Y: S, км

Ось X: $t$, ч

Данные графика:

• Начальная точка: $(0,0)$
• Конечная точка первой прямой: $(0.5, 1)$
• Конечная точка горизонтальной прямой: $(4.5, 1)$
• Конечная точка последней прямой: $(5.5, 0)$

Варианты ответов:

А) 5 ч

Б) 4,5 ч

В) 4 ч

Г) 3,5 ч

На представленном графике по оси ординат (вертикальной оси) отложено расстояние $S$ в километрах от дома ученика, а по оси абсцисс (горизонтальной оси) – время $t$ в часах.

График состоит из трёх участков:

1. Первый участок – наклонная линия, идущая вверх от начала координат. Он показывает, что расстояние от дома увеличивается. Это путь ученика из дома в школу. Он начинается в момент времени $t=0$ ч и заканчивается в $t=0,5$ ч, когда расстояние от дома достигло 1 км.
2. Второй участок – горизонтальная линия. На этом отрезке времени расстояние от дома не меняется и составляет 1 км. Это означает, что ученик находится в одном месте – в школе. Этот участок начинается в момент времени $t_1 = 0,5$ ч (момент прихода в школу) и заканчивается в момент времени $t_2 = 4,5$ ч (момент ухода из школы).
3. Третий участок – наклонная линия, идущая вниз. Он показывает, что расстояние от дома уменьшается. Это путь ученика из школы домой.

Чтобы найти, сколько часов ученик находился в школе, нужно вычислить продолжительность второго участка. Для этого из времени окончания этого периода вычтем время его начала.

Время, проведенное в школе: $ \Delta t = t_2 - t_1 = 4,5 \text{ ч} - 0,5 \text{ ч} = 4 \text{ ч} $

Таким образом, ученик находился в школе 4 часа.

Ответ: 4 ч.

6. Графиком какой из данных функций является прямая, проходящая через начало координат?

А) $y = 20 + x$

Б) $y = 20x$

В) $y = 20 - x$

Г) $y = x - 20$

Задача состоит в том, чтобы найти функцию, график которой является прямой линией, проходящей через начало координат. Начало координат — это точка с координатами $(0, 0)$.

Все предложенные функции являются линейными, их общий вид $y = kx + b$. Графиком такой функции является прямая. Чтобы прямая проходила через начало координат, её уравнение должно обращаться в верное равенство при подстановке координат этой точки, то есть $x = 0$ и $y = 0$.

Подставим $x=0$ и $y=0$ в общее уравнение линейной функции: $0 = k \cdot 0 + b$ $0 = 0 + b$ $b = 0$

Таким образом, прямая проходит через начало координат только в том случае, если свободный член $b$ в её уравнении равен нулю. Уравнение должно иметь вид $y = kx$ (это функция прямой пропорциональности).

Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

А) $y = 20 + x$
Уравнение можно переписать в стандартном виде $y = x + 20$. Здесь свободный член $b = 20$. Поскольку $b \neq 0$, график этой функции не проходит через начало координат. Проверка: при $x=0$, $y = 20+0 = 20$.

Б) $y = 20x$
Это уравнение вида $y = kx$, где $k=20$. Свободный член $b = 0$. Следовательно, график этой функции — прямая, проходящая через начало координат. Проверка: при $x=0$, $y = 20 \cdot 0 = 0$.

В) $y = 20 - x$
Уравнение можно переписать как $y = -x + 20$. Здесь свободный член $b = 20$. Поскольку $b \neq 0$, график этой функции не проходит через начало координат. Проверка: при $x=0$, $y = 20-0 = 20$.

Г) $y = x - 20$
В этом уравнении свободный член $b = -20$. Поскольку $b \neq 0$, график этой функции не проходит через начало координат. Проверка: при $x=0$, $y = 0-20 = -20$.

Итак, единственная функция, которая удовлетворяет заданному условию, это $y = 20x$.

Ответ: Б

7. Графиком какой из данных функций является горизонтальная прямая?

А) $y = \frac{1}{9}$

Б) $y = \frac{1}{9} - x$

В) $y = \frac{1}{9}x + 1$

Г) $y = \frac{1}{9}x

Горизонтальная прямая на координатной плоскости — это график функции, у которой значение y постоянно и не зависит от значения x. Уравнение такой прямой имеет общий вид $y = c$, где c — константа. Для линейной функции, заданной в виде $y = kx + b$, это условие выполняется, когда угловой коэффициент $k = 0$.

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов:

А) $y = \frac{1}{9}$

Это уравнение вида $y = c$, где константа $c = \frac{1}{9}$. Значение y является постоянным и не зависит от x. Следовательно, график этой функции — горизонтальная прямая.

Б) $y = \frac{1}{9} - x$

Эту функцию можно представить в виде $y = -1 \cdot x + \frac{1}{9}$. Угловой коэффициент здесь $k = -1$. Поскольку $k \neq 0$, график является наклонной прямой.

В) $y = \frac{1}{9}x + 1$

Это линейная функция, у которой угловой коэффициент $k = \frac{1}{9}$. Поскольку $k \neq 0$, график является наклонной прямой.

Г) $y = \frac{1}{9}x$

Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{9}$. Поскольку $k \neq 0$, график является наклонной прямой.

Таким образом, единственная функция из предложенных, графиком которой является горизонтальная прямая, — это функция из варианта А.

Ответ: А