Страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1094.Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} x - 4, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x - 4, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 3x - 2, & \text{если } x \le 1 \\ 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

3) $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \ne 2 \\ 3, & \text{если } x = 2 \end{cases}$

4) $y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x < -1 \\ 1, & \text{если } x = -1 \\ x + 3, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

1) Данная функция является кусочно-линейной. Её график состоит из двух частей (лучей), стыкующихся в точке с абсциссой $x=0$.
Первая часть графика — это график функции $y = x - 4$ при условии $x \ge 0$. Это луч, выходящий из точки на оси OY. Для построения найдем две точки:
- если $x = 0$, то $y = 0 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
- если $x = 4$, то $y = 4 - 4 = 0$. Точка $(4, 0)$.
Соединяем эти точки и продолжаем линию вправо и вверх. Начало луча в точке $(0, -4)$ (точка закрашенная, так как неравенство нестрогое).
Вторая часть графика — это график функции $y = -2x - 4$ при условии $x < 0$. Это луч, также подходящий к точке на оси OY. Для построения найдем две точки:
- граничная точка при $x = 0$ дает $y = -2(0) - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$ является началом луча, но не входит в него (так как неравенство строгое), поэтому она "выколотая". Однако, поскольку эта точка принадлежит первой части графика, то график в целом является непрерывным.
- если $x = -2$, то $y = -2(-2) - 4 = 4 - 4 = 0$. Точка $(-2, 0)$.
Проводим луч через точку $(-2, 0)$ до точки $(0, -4)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из одной точки $(0, -4)$. Первый луч для $x \ge 0$ проходит через точку $(4, 0)$, второй луч для $x < 0$ проходит через точку $(-2, 0)$.

2) Данная функция является кусочно-заданной. Её график состоит из двух частей, стыкующихся в точке с абсциссой $x=1$.
Первая часть графика — это график функции $y = 3x - 2$ при условии $x \le 1$. Это луч. Для его построения найдем две точки:
- если $x = 1$, то $y = 3(1) - 2 = 1$. Точка $(1, 1)$. Это конечная точка луча, она закрашенная.
- если $x = 0$, то $y = 3(0) - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
Проводим луч через точку $(0, -2)$ до точки $(1, 1)$.
Вторая часть графика — это график функции $y = 1$ при условии $x > 1$. Это горизонтальный луч, начинающийся от точки с абсциссой $x=1$.
- Начало луча находится в точке $(1, 1)$. Точка выколотая, так как неравенство строгое. Но так как эта точка принадлежит первой части графика, то разрыва нет.
- Луч параллелен оси OX и направлен вправо.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию. Для $x \le 1$ это луч, проходящий через точки $(0, -2)$ и $(1, 1)$. Для $x > 1$ это горизонтальный луч $y=1$, выходящий из точки $(1, 1)$ и идущий вправо.

3) Данная функция задана двумя условиями.
Первая часть $y = 2$ при $x \ne 2$. Графиком этой функции является горизонтальная прямая $y=2$, из которой удалена ("выколота") одна точка. Это точка, у которой абсцисса $x=2$, то есть точка $(2, 2)$.
Вторая часть $y = 3$ при $x = 2$. Это условие задает одну единственную точку на координатной плоскости. Координаты этой точки $(2, 3)$.

Ответ: График функции — это горизонтальная прямая $y=2$ с выколотой точкой $(2, 2)$ и отдельная точка с координатами $(2, 3)$.

4) Данная функция является кусочно-заданной и состоит из трёх частей, с точкой разрыва при $x=-1$.
Первая часть графика — это $y = 2x$ при $x < -1$. Это луч. Найдем его граничную точку:
- при $x \to -1$ (слева), $y \to 2(-1) = -2$. Точка $(-1, -2)$ выколотая.
- возьмем любую другую точку, например, $x = -3$, тогда $y = 2(-3) = -6$. Точка $(-3, -6)$.
Проводим луч через точку $(-3, -6)$, заканчивающийся в выколотой точке $(-1, -2)$.
Вторая часть графика — это $y = 1$ при $x = -1$. Это одна точка с координатами $(-1, 1)$.
Третья часть графика — это $y = x + 3$ при $x > -1$. Это луч. Найдем его начальную точку:
- при $x \to -1$ (справа), $y \to -1 + 3 = 2$. Точка $(-1, 2)$ выколотая.
- возьмем любую другую точку, например, $x=0$, тогда $y = 0+3=3$. Точка $(0, 3)$.
Проводим луч, начинающийся в выколотой точке $(-1, 2)$ и проходящий через точку $(0, 3)$.

Ответ: График состоит из трёх частей: 1) луч прямой $y=2x$ для $x < -1$ с выколотой конечной точкой $(-1, -2)$; 2) изолированная точка $(-1, 1)$; 3) луч прямой $y=x+3$ для $x > -1$ с выколотой начальной точкой $(-1, 2)$.

1095. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \le -1, \\ 3, & \text{если } -1 < x < 1, \\ 2x + 1, & \text{если } x \ge 1; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 5 - x, & \text{если } x \le 3, \\ x + 1, & \text{если } x > 3. \end{cases}$

1)

Данная функция является кусочно-заданной. Ее график состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем промежутке.

а) На промежутке $x \le -1$ функция задается формулой $y = -3x$. Это линейная функция, ее график — луч. Для построения найдем координаты двух точек:

• При $x = -1$, $y = -3 \cdot (-1) = 3$. Получаем точку $(-1, 3)$. Так как неравенство нестрогое ($x \le -1$), точка будет закрашенной.
• При $x = -2$, $y = -3 \cdot (-2) = 6$. Получаем точку $(-2, 6)$.

Проведем луч из точки $(-1, 3)$ через точку $(-2, 6)$.

б) На промежутке $-1 < x < 1$ функция задается формулой $y = 3$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальный отрезок прямой, параллельной оси Ox. Концы этого отрезка будут выколотыми, так как неравенство строгое:

• При $x \to -1$, $y = 3$. Точка $(-1, 3)$ — выколотая.
• При $x \to 1$, $y = 3$. Точка $(1, 3)$ — выколотая.

Соединяем эти две точки отрезком.

в) На промежутке $x \ge 1$ функция задается формулой $y = 2x + 1$. Это линейная функция, ее график — луч. Для построения найдем координаты двух точек:

• При $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Получаем точку $(1, 3)$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge 1$), точка будет закрашенной.
• При $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Получаем точку $(2, 5)$.

Проведем луч из точки $(1, 3)$ через точку $(2, 5)$.

Совмещение графиков:

Объединим все три части на одной координатной плоскости. Заметим, что в точке $x = -1$ закрашенная точка $(-1, 3)$ от первого графика совпадает с выколотой точкой от второго. Аналогично в точке $x = 1$ закрашенная точка $(1, 3)$ от третьего графика совпадает с выколотой точкой от второго. Это означает, что разрывов в этих точках нет, и функция является непрерывной.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из трех частей. Первая часть — луч, идущий из точки $(-1, 3)$ через точку $(-2, 6)$. Вторая часть — горизонтальный отрезок, соединяющий точки $(-1, 3)$ и $(1, 3)$. Третья часть — луч, идущий из точки $(1, 3)$ через точку $(2, 5). Таким образом, график представляет собой непрерывную ломаную линию.

2)

Данная функция является кусочно-заданной. Ее график состоит из двух лучей.

а) На промежутке $x \le 3$ функция задается формулой $y = 5 - x$. Это линейная функция, ее график — луч. Для построения найдем координаты двух точек:

• При $x = 3$, $y = 5 - 3 = 2$. Получаем точку $(3, 2)$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 3$), точка будет закрашенной.
• При $x = 0$, $y = 5 - 0 = 5$. Получаем точку $(0, 5)$.

Проведем луч из точки $(3, 2)$ через точку $(0, 5)$.

б) На промежутке $x > 3$ функция задается формулой $y = x + 1$. Это линейная функция, ее график — луч. Для построения найдем координаты двух точек:

• Найдем значение на границе: при $x = 3$, $y = 3 + 1 = 4$. Получаем точку $(3, 4)$. Так как неравенство строгое ($x > 3$), эта точка будет выколотой (пустой кружок).
• При $x = 4$, $y = 4 + 1 = 5$. Получаем точку $(4, 5)$.

Проведем луч из выколотой точки $(3, 4)$ через точку $(4, 5)$.

Совмещение графиков:

Объединим оба луча на одной координатной плоскости. В точке $x=3$ происходит скачок (разрыв). Значение функции в этой точке равно $y(3)=2$. При приближении к $x=3$ справа, значения функции стремятся к 4.

Ответ: График функции состоит из двух лучей. Первый луч начинается в закрашенной точке $(3, 2)$ и проходит через точку $(0, 5)$, простираясь влево и вверх. Второй луч начинается в выколотой точке $(3, 4)$ и проходит через точку $(4, 5)$, простираясь вправо и вверх. В точке $x=3$ функция имеет разрыв.

1096. остройте график функции:

1) $y = -|x|$;

2) $y = |x| + x$,

3) $y = 4x - |x| + 2.

1) $y = -|x|$

Для построения графика функции, содержащей модуль, раскроем модуль по определению:
$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Таким образом, функцию $y = -|x|$ можно представить в виде кусочно-заданной функции:
$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -(-x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$, что эквивалентно $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

График состоит из двух частей:
1. При $x \ge 0$ строим график функции $y = -x$. Это луч, выходящий из начала координат (0, 0) и проходящий через точку (1, -1). Он расположен в четвертой координатной четверти.
2. При $x < 0$ строим график функции $y = x$. Это луч, выходящий из начала координат (0, 0) и проходящий через точку (-1, -1). Он расположен в третьей координатной четверти.

В результате получаем график, который является объединением этих двух лучей. Он симметричен относительно оси OY и представляет собой "перевернутую галочку" с вершиной в точке (0, 0). Этот график можно также получить, отразив график функции $y = |x|$ симметрично относительно оси OX.

Ответ: График функции $y = -|x|$ состоит из двух лучей, исходящих из точки (0,0): луча $y=-x$ для $x \ge 0$ и луча $y=x$ для $x < 0$.

2) $y = |x| + x$

Раскроем модуль в зависимости от знака $x$.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x + x = 2x$.
Графиком является луч, выходящий из точки (0, 0) (так как при $x=0$, $y=2 \cdot 0 = 0$) и проходящий, например, через точку (1, 2) (при $x=1$, $y=2 \cdot 1 = 2$).

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = -x + x = 0$.
Графиком является луч $y=0$, расположенный на оси OX левее точки (0, 0).

Объединяя эти две части, получаем итоговый график.

Ответ: График функции $y = |x| + x$ состоит из луча $y=0$ при $x < 0$ (часть оси абсцисс) и луча $y=2x$ при $x \ge 0$, которые соединяются в точке (0, 0).

3) $y = 4x - |x| + 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = 4x - x + 2 = 3x + 2$.
Это линейная функция. Ее график для $x \ge 0$ — это луч, начинающийся в точке, где $x=0$. Найдем координаты этой точки: $y(0) = 3 \cdot 0 + 2 = 2$. Итак, луч начинается в точке (0, 2). Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x=1$: $y(1) = 3 \cdot 1 + 2 = 5$. Луч проходит через точку (1, 5).

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = 4x - (-x) + 2 = 5x + 2$.
Это также линейная функция. Ее график для $x < 0$ — это луч. Он подходит к точке (0, 2) слева (при $x \to 0^-$, $y \to 2$). Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x=-1$: $y(-1) = 5 \cdot (-1) + 2 = -3$. Луч проходит через точку (-1, -3) и заканчивается в точке (0, 2).

Итоговый график состоит из двух лучей, которые "ломаются" в общей точке (0, 2).

Ответ: График функции $y = 4x - |x| + 2$ является ломаной линией, состоящей из двух лучей, с точкой излома (0, 2). При $x \ge 0$ это луч $y=3x+2$, а при $x < 0$ это луч $y=5x+2$.

1097.Постройте график функции:

1) $y = x - |x|$;

2) $y = 3x + 2|x|$.

1) Чтобы построить график функции $y = x - |x|$, необходимо раскрыть модуль. По определению модуля:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим два случая:

а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x - x = 0$.
Таким образом, для всех неотрицательных значений $x$ (то есть в первой и четвертой координатных четвертях, включая оси) график функции представляет собой луч, совпадающий с положительной частью оси Ox, включая начало координат.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = x - (-x) = x + x = 2x$.
Таким образом, для всех отрицательных значений $x$ (то есть во второй и третьей координатных четвертях) график функции совпадает с графиком прямой $y = 2x$. Это луч, исходящий из начала координат (точка (0,0) является предельной) и проходящий, например, через точку $(-1, -2)$, так как при $x=-1$, $y=2(-1)=-2$.

Объединяя оба случая, получаем график, состоящий из двух лучей, выходящих из точки $(0, 0)$.

Ответ: График функции $y = x - |x|$ состоит из двух лучей, исходящих из начала координат: луча $y = 2x$ при $x < 0$ и луча $y = 0$ при $x \ge 0$.

2) Чтобы построить график функции $y = 3x + 2|x|$, также раскроем модуль, рассмотрев два случая.

а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = 3x + 2x = 5x$.
Графиком является луч прямой $y = 5x$, выходящий из начала координат и расположенный в первой координатной четверти. Для построения можно взять точку, например, $(1, 5)$, так как при $x=1$, $y=5(1)=5$.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = 3x + 2(-x) = 3x - 2x = x$.
Графиком является луч прямой $y = x$, выходящий из начала координат и расположенный в третьей координатной четверти. Для построения можно взять точку, например, $(-2, -2)$, так как при $x=-2$, $y=-2$.

Объединяя оба случая, получаем "ломаную" линию, состоящую из двух лучей, с точкой "излома" в начале координат $(0, 0)$.

Ответ: График функции $y = 3x + 2|x|$ состоит из двух лучей, исходящих из начала координат: луча $y = x$ при $x < 0$ и луча $y = 5x$ при $x \ge 0$.

1098. Задайте формулой линейную функцию, графиком которой является изображённая на рисунке 62:

1) прямая a;

2) прямая b.

Рис. 62

1) прямая a;

Линейная функция задается уравнением вида $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – ордината точки пересечения графика с осью $y$.

Найдем значение $b$ для прямой $a$. Прямая $a$ пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0; 2)$. Следовательно, $b = 2$.

Для нахождения углового коэффициента $k$ выберем две точки на прямой $a$, координаты которых легко определить по сетке. Возьмем точку пересечения с осью $y$ – $A(0; 2)$ и точку пересечения с осью $x$ – $B(-1; 0)$.

Угловой коэффициент $k$ вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Подставив координаты точек $A$ и $B$, получим: $k = \frac{2 - 0}{0 - (-1)} = \frac{2}{1} = 2$.

Теперь подставим найденные значения $k=2$ и $b=2$ в уравнение линейной функции: $y = 2x + 2$.

Ответ: $y = 2x + 2$.

2) прямая b;

Аналогично найдем уравнение для прямой $b$.

Прямая $b$ пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0; -1)$. Следовательно, $b = -1$.

Для нахождения коэффициента $k$ выберем две точки на прямой $b$. Возьмем точку пересечения с осью $y$ – $C(0; -1)$ и еще одну точку с целочисленными координатами, например, $D(2; -2)$.

Вычислим угловой коэффициент $k$ по формуле, подставив координаты точек $C$ и $D$: $k = \frac{-2 - (-1)}{2 - 0} = \frac{-2 + 1}{2} = -\frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения $k = -\frac{1}{2}$ и $b = -1$ в уравнение линейной функции: $y = -\frac{1}{2}x - 1$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x - 1$.

1099.Задайте формулой линейную функцию, графиком которой является изображённая на рисунке 63:

1) прямая m;

$y = -x + 1$

2) прямая n.

$y = 3x - 4$

Рис. 63

Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $y$. Чтобы задать функцию формулой, нам необходимо найти значения коэффициентов $k$ и $b$ для каждой прямой.

1) прямая m

Сначала найдем коэффициент $b$. Это ордината точки, в которой прямая пересекает ось $y$. Из графика видно, что прямая $m$ пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0; 1)$. Следовательно, $b = 1$.

Теперь найдем угловой коэффициент $k$. Для этого выберем на прямой $m$ две точки с целочисленными координатами, например, точку A(0; 1) и точку B(2; 0). Угловой коэффициент вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Подставим координаты наших точек в формулу:

$k = \frac{0 - 1}{2 - 0} = \frac{-1}{2} = -0.5$.

Теперь, зная коэффициенты $k = -0.5$ и $b = 1$, мы можем записать уравнение для прямой $m$:

$y = -0.5x + 1$.

Ответ: $y = -0.5x + 1$.

2) прямая n

Аналогично найдем коэффициенты для прямой $n$. Прямая $n$ пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0; -3)$. Значит, $b = -3$.

Выберем на прямой $n$ две точки с целочисленными координатами, например, точку C(0; -3) и точку D(1; -1). Вычислим угловой коэффициент $k$ по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Подставим координаты точек C и D:

$k = \frac{-1 - (-3)}{1 - 0} = \frac{-1 + 3}{1} = \frac{2}{1} = 2$.

Зная коэффициенты $k = 2$ и $b = -3$, мы можем записать уравнение для прямой $n$:

$y = 2x - 3$.

Ответ: $y = 2x - 3$.

1100. Функция задана описательно: $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$¹. Постройте график этой функции.

Функция задана словесным описанием. Пусть аргумент функции — это $x$, а значение функции — $y$. Условие гласит, что значение функции равно разности между значением аргумента и его целой частью.

Запишем это в виде формулы. Целая часть числа $x$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Она обозначается как $[x]$ или $\lfloor x \rfloor$. Таким образом, функцию можно задать формулой:

$y = x - [x]$

Эта функция также известна как "дробная часть числа" и иногда обозначается как $\{x\}$. То есть, $y = \{x\}$.

Для построения графика проанализируем поведение этой функции на нескольких интервалах, границами которых являются целые числа.

• На промежутке $[0, 1)$, для любого $x$ из этого промежутка, его целая часть $[x] = 0$. Тогда функция принимает вид $y = x - 0 = x$. Графиком является отрезок прямой, выходящий из точки $(0, 0)$ и идущий до точки $(1, 1)$. При этом точка $(0, 0)$ принадлежит графику, а точка $(1, 1)$ — нет (она "выколота"), так как $x < 1$.

• На промежутке $[1, 2)$, для любого $x$ из этого промежутка, $[x] = 1$. Тогда функция принимает вид $y = x - 1$. Это отрезок прямой, параллельный прямой $y=x$, но смещенный на 1 единицу вниз. Он начинается в точке $(1, 0)$ (включительно) и заканчивается в "выколотой" точке $(2, 1)$.

• На промежутке $[-1, 0)$, для любого $x$ из этого промежутка, $[x] = -1$. Тогда функция принимает вид $y = x - (-1) = x + 1$. Это отрезок прямой, который начинается в точке $(-1, 0)$ (включительно) и заканчивается в "выколотой" точке $(0, 1)$.

Обобщая, можно сказать, что для любого целого числа $n$, на промежутке $[n, n+1)$ функция имеет вид $y = x - n$. Это означает, что график функции состоит из бесконечного набора одинаковых отрезков. Каждый такой отрезок начинается в точке $(n, 0)$ на оси абсцисс и заканчивается, не достигая точки $(n+1, 1)$.

График этой функции является периодическим с периодом 1. Область значений функции — полуинтервал $[0, 1)$.

Ответ: График функции $y = x - [x]$ представляет собой "пилообразную" линию. Он состоит из бесконечного множества параллельных отрезков. Для каждого целого $n$, на полуинтервале $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой $y = x - n$. Левый конец каждого отрезка, точка с координатами $(n, 0)$, принадлежит графику, а правый конец, точка $(n+1, 1)$, не принадлежит (является "выколотой" точкой).