Номер 1096, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Линейная функция, её график и свойства. Глава 2. Функции - номер 1096, страница 204.

Условие.

1096. остройте график функции:

1) $y = -|x|$;

2) $y = |x| + x$,

3) $y = 4x - |x| + 2.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $y = -|x|$

Для построения графика функции, содержащей модуль, раскроем модуль по определению:
$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Таким образом, функцию $y = -|x|$ можно представить в виде кусочно-заданной функции:
$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -(-x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$, что эквивалентно $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

График состоит из двух частей:
1. При $x \ge 0$ строим график функции $y = -x$. Это луч, выходящий из начала координат (0, 0) и проходящий через точку (1, -1). Он расположен в четвертой координатной четверти.
2. При $x < 0$ строим график функции $y = x$. Это луч, выходящий из начала координат (0, 0) и проходящий через точку (-1, -1). Он расположен в третьей координатной четверти.

В результате получаем график, который является объединением этих двух лучей. Он симметричен относительно оси OY и представляет собой "перевернутую галочку" с вершиной в точке (0, 0). Этот график можно также получить, отразив график функции $y = |x|$ симметрично относительно оси OX.

Ответ: График функции $y = -|x|$ состоит из двух лучей, исходящих из точки (0,0): луча $y=-x$ для $x \ge 0$ и луча $y=x$ для $x < 0$.

2) $y = |x| + x$

Раскроем модуль в зависимости от знака $x$.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x + x = 2x$.
Графиком является луч, выходящий из точки (0, 0) (так как при $x=0$, $y=2 \cdot 0 = 0$) и проходящий, например, через точку (1, 2) (при $x=1$, $y=2 \cdot 1 = 2$).

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = -x + x = 0$.
Графиком является луч $y=0$, расположенный на оси OX левее точки (0, 0).

Объединяя эти две части, получаем итоговый график.

Ответ: График функции $y = |x| + x$ состоит из луча $y=0$ при $x < 0$ (часть оси абсцисс) и луча $y=2x$ при $x \ge 0$, которые соединяются в точке (0, 0).

3) $y = 4x - |x| + 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = 4x - x + 2 = 3x + 2$.
Это линейная функция. Ее график для $x \ge 0$ — это луч, начинающийся в точке, где $x=0$. Найдем координаты этой точки: $y(0) = 3 \cdot 0 + 2 = 2$. Итак, луч начинается в точке (0, 2). Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x=1$: $y(1) = 3 \cdot 1 + 2 = 5$. Луч проходит через точку (1, 5).

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = 4x - (-x) + 2 = 5x + 2$.
Это также линейная функция. Ее график для $x < 0$ — это луч. Он подходит к точке (0, 2) слева (при $x \to 0^-$, $y \to 2$). Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x=-1$: $y(-1) = 5 \cdot (-1) + 2 = -3$. Луч проходит через точку (-1, -3) и заканчивается в точке (0, 2).

Итоговый график состоит из двух лучей, которые "ломаются" в общей точке (0, 2).

Ответ: График функции $y = 4x - |x| + 2$ является ломаной линией, состоящей из двух лучей, с точкой излома (0, 2). При $x \ge 0$ это луч $y=3x+2$, а при $x < 0$ это луч $y=5x+2$.