Номер 1090, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Линейная функция, её график и свойства. Глава 2. Функции - номер 1090, страница 203.

Условие.

1090. Графики функций $y = 0,5x - 3$, $y = -4x + 6$ и $y = kx$ пересекаются в одной точке. Найдите значение $k$. Постройте в одной системе координат графики этих функций.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Найдите значение k.

По условию, графики трех функций $y = 0,5x - 3$, $y = -4x + 6$ и $y = kx$ пересекаются в одной точке. Это означает, что координаты этой общей точки удовлетворяют всем трем уравнениям.

Сначала найдем точку пересечения первых двух графиков, решив систему уравнений: $$ \begin{cases} y = 0,5x - 3 \\ y = -4x + 6 \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения значения $y$ для обеих функций одинаковы: $$0,5x - 3 = -4x + 6$$ Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую: $$0,5x + 4x = 6 + 3$$ $$4,5x = 9$$ Теперь найдем $x$: $$x = \frac{9}{4,5} = 2$$

Далее найдем соответствующее значение $y$, подставив найденное значение $x = 2$ в любое из двух исходных уравнений. Подставим в первое: $$y = 0,5 \cdot 2 - 3 = 1 - 3 = -2$$ Для проверки можно подставить и во второе уравнение: $$y = -4 \cdot 2 + 6 = -8 + 6 = -2$$ Таким образом, точка пересечения первых двух графиков — это точка A с координатами $(2; -2)$.

Поскольку все три графика пересекаются в этой точке, то ее координаты $(2; -2)$ должны удовлетворять и третьему уравнению $y = kx$. Подставим значения $x = 2$ и $y = -2$ в это уравнение, чтобы найти коэффициент $k$: $$-2 = k \cdot 2$$ Отсюда выражаем $k$: $$k = \frac{-2}{2} = -1$$

Ответ: $k = -1$.

Постройте в одной системе координат графики этих функций.

Теперь у нас есть уравнения всех трех линейных функций:

1. $y = 0,5x - 3$
2. $y = -4x + 6$
3. $y = -x$ (поскольку мы нашли, что $k=-1$)

Для построения графика каждой линейной функции достаточно знать две точки, через которые она проходит. Мы уже знаем одну общую точку для всех трех графиков — $A(2; -2)$. Найдем по еще одной точке для каждой прямой, выбрав удобное значение $x$ (например, $x=0$).

1. Для функции $y = 0,5x - 3$:
   Точка 1: $A(2; -2)$.
   Точка 2: при $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0; -3)$.
2. Для функции $y = -4x + 6$:
   Точка 1: $A(2; -2)$.
   Точка 2: при $x = 0$, $y = -4 \cdot 0 + 6 = 6$. Получаем точку $(0; 6)$.
3. Для функции $y = -x$:
   Точка 1: $A(2; -2)$.
   Точка 2: при $x = 0$, $y = -0 = 0$. Получаем точку $(0; 0)$ (начало координат).

Построим графики в одной системе координат. Все три прямые должны пересечься в точке $A(2; -2)$.

Ответ: