Номер 1095, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Линейная функция, её график и свойства. Глава 2. Функции - номер 1095, страница 204.

Условие.

1095. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \le -1, \\ 3, & \text{если } -1 < x < 1, \\ 2x + 1, & \text{если } x \ge 1; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 5 - x, & \text{если } x \le 3, \\ x + 1, & \text{если } x > 3. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Данная функция является кусочно-заданной. Ее график состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем промежутке.

а) На промежутке $x \le -1$ функция задается формулой $y = -3x$. Это линейная функция, ее график — луч. Для построения найдем координаты двух точек:

• При $x = -1$, $y = -3 \cdot (-1) = 3$. Получаем точку $(-1, 3)$. Так как неравенство нестрогое ($x \le -1$), точка будет закрашенной.
• При $x = -2$, $y = -3 \cdot (-2) = 6$. Получаем точку $(-2, 6)$.

Проведем луч из точки $(-1, 3)$ через точку $(-2, 6)$.

б) На промежутке $-1 < x < 1$ функция задается формулой $y = 3$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальный отрезок прямой, параллельной оси Ox. Концы этого отрезка будут выколотыми, так как неравенство строгое:

• При $x \to -1$, $y = 3$. Точка $(-1, 3)$ — выколотая.
• При $x \to 1$, $y = 3$. Точка $(1, 3)$ — выколотая.

Соединяем эти две точки отрезком.

в) На промежутке $x \ge 1$ функция задается формулой $y = 2x + 1$. Это линейная функция, ее график — луч. Для построения найдем координаты двух точек:

• При $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Получаем точку $(1, 3)$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge 1$), точка будет закрашенной.
• При $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Получаем точку $(2, 5)$.

Проведем луч из точки $(1, 3)$ через точку $(2, 5)$.

Совмещение графиков:

Объединим все три части на одной координатной плоскости. Заметим, что в точке $x = -1$ закрашенная точка $(-1, 3)$ от первого графика совпадает с выколотой точкой от второго. Аналогично в точке $x = 1$ закрашенная точка $(1, 3)$ от третьего графика совпадает с выколотой точкой от второго. Это означает, что разрывов в этих точках нет, и функция является непрерывной.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из трех частей. Первая часть — луч, идущий из точки $(-1, 3)$ через точку $(-2, 6)$. Вторая часть — горизонтальный отрезок, соединяющий точки $(-1, 3)$ и $(1, 3)$. Третья часть — луч, идущий из точки $(1, 3)$ через точку $(2, 5). Таким образом, график представляет собой непрерывную ломаную линию.

2)

Данная функция является кусочно-заданной. Ее график состоит из двух лучей.

а) На промежутке $x \le 3$ функция задается формулой $y = 5 - x$. Это линейная функция, ее график — луч. Для построения найдем координаты двух точек:

• При $x = 3$, $y = 5 - 3 = 2$. Получаем точку $(3, 2)$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 3$), точка будет закрашенной.
• При $x = 0$, $y = 5 - 0 = 5$. Получаем точку $(0, 5)$.

Проведем луч из точки $(3, 2)$ через точку $(0, 5)$.

б) На промежутке $x > 3$ функция задается формулой $y = x + 1$. Это линейная функция, ее график — луч. Для построения найдем координаты двух точек:

• Найдем значение на границе: при $x = 3$, $y = 3 + 1 = 4$. Получаем точку $(3, 4)$. Так как неравенство строгое ($x > 3$), эта точка будет выколотой (пустой кружок).
• При $x = 4$, $y = 4 + 1 = 5$. Получаем точку $(4, 5)$.

Проведем луч из выколотой точки $(3, 4)$ через точку $(4, 5)$.

Совмещение графиков:

Объединим оба луча на одной координатной плоскости. В точке $x=3$ происходит скачок (разрыв). Значение функции в этой точке равно $y(3)=2$. При приближении к $x=3$ справа, значения функции стремятся к 4.

Ответ: График функции состоит из двух лучей. Первый луч начинается в закрашенной точке $(3, 2)$ и проходит через точку $(0, 5)$, простираясь влево и вверх. Второй луч начинается в выколотой точке $(3, 4)$ и проходит через точку $(4, 5)$, простираясь вправо и вверх. В точке $x=3$ функция имеет разрыв.