Номер 1100, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Линейная функция, её график и свойства. Глава 2. Функции - номер 1100, страница 204.

Условие.

1100. Функция задана описательно: $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$¹. Постройте график этой функции.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Функция задана словесным описанием. Пусть аргумент функции — это $x$, а значение функции — $y$. Условие гласит, что значение функции равно разности между значением аргумента и его целой частью.

Запишем это в виде формулы. Целая часть числа $x$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Она обозначается как $[x]$ или $\lfloor x \rfloor$. Таким образом, функцию можно задать формулой:

$y = x - [x]$

Эта функция также известна как "дробная часть числа" и иногда обозначается как $\{x\}$. То есть, $y = \{x\}$.

Для построения графика проанализируем поведение этой функции на нескольких интервалах, границами которых являются целые числа.

• На промежутке $[0, 1)$, для любого $x$ из этого промежутка, его целая часть $[x] = 0$. Тогда функция принимает вид $y = x - 0 = x$. Графиком является отрезок прямой, выходящий из точки $(0, 0)$ и идущий до точки $(1, 1)$. При этом точка $(0, 0)$ принадлежит графику, а точка $(1, 1)$ — нет (она "выколота"), так как $x < 1$.

• На промежутке $[1, 2)$, для любого $x$ из этого промежутка, $[x] = 1$. Тогда функция принимает вид $y = x - 1$. Это отрезок прямой, параллельный прямой $y=x$, но смещенный на 1 единицу вниз. Он начинается в точке $(1, 0)$ (включительно) и заканчивается в "выколотой" точке $(2, 1)$.

• На промежутке $[-1, 0)$, для любого $x$ из этого промежутка, $[x] = -1$. Тогда функция принимает вид $y = x - (-1) = x + 1$. Это отрезок прямой, который начинается в точке $(-1, 0)$ (включительно) и заканчивается в "выколотой" точке $(0, 1)$.

Обобщая, можно сказать, что для любого целого числа $n$, на промежутке $[n, n+1)$ функция имеет вид $y = x - n$. Это означает, что график функции состоит из бесконечного набора одинаковых отрезков. Каждый такой отрезок начинается в точке $(n, 0)$ на оси абсцисс и заканчивается, не достигая точки $(n+1, 1)$.

График этой функции является периодическим с периодом 1. Область значений функции — полуинтервал $[0, 1)$.

Ответ: График функции $y = x - [x]$ представляет собой "пилообразную" линию. Он состоит из бесконечного множества параллельных отрезков. Для каждого целого $n$, на полуинтервале $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой $y = x - n$. Левый конец каждого отрезка, точка с координатами $(n, 0)$, принадлежит графику, а правый конец, точка $(n+1, 1)$, не принадлежит (является "выколотой" точкой).