Номер 1107, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Линейная функция, её график и свойства. Глава 2. Функции - номер 1107, страница 205.

Условие.

1107. Известно, что $x^2+y^2=a$, $xy=b$. Чему равно значение выражения $x^4+x^2y^2+y^4$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Дано: $x^2 + y^2 = a$ и $xy = b$.
Нужно найти значение выражения $x^4 + x^2y^2 + y^4$.

Для нахождения значения выражения преобразуем его, используя известные тождества сокращенного умножения. Искомое выражение $x^4 + x^2y^2 + y^4$ можно представить, дополнив его до полного квадрата суммы.

Формула квадрата суммы двух выражений: $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.
Рассмотрим выражение $(x^2 + y^2)^2$:
$(x^2 + y^2)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$.

Теперь преобразуем исходное выражение $x^4 + x^2y^2 + y^4$, добавив и отняв $x^2y^2$, чтобы выделить полный квадрат:
$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2$

Сгруппировав первые три слагаемых, мы получаем полный квадрат, а оставшийся член можно записать как квадрат произведения:
$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$

Теперь подставим в полученное выражение значения из условия задачи: $x^2 + y^2 = a$ и $xy = b$.
$(a)^2 - (b)^2 = a^2 - b^2$

Таким образом, значение выражения $x^4 + x^2y^2 + y^4$ равно $a^2 - b^2$.

Ответ: $a^2 - b^2$