Номер 1105, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Линейная функция, её график и свойства. Глава 2. Функции - номер 1105, страница 205.

Условие.

1105. Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства обозначим три последовательных натуральных числа как $n-1$, $n$ и $n+1$. Так как числа должны быть натуральными, наименьшее из них, $n-1$, должно быть не меньше 1, то есть $n-1 \ge 1$, что означает $n \ge 2$.

Теперь составим сумму кубов этих чисел. Обозначим эту сумму буквой $S$:

$S = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$

Чтобы раскрыть скобки, воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба разности и куба суммы:

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Применим эти формулы к нашему выражению:

$(n-1)^3 = n^3 - 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 - 1^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$

$(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 + 1^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$

Теперь подставим раскрытые выражения обратно в сумму $S$ и упростим её:

$S = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$S = (n^3 + n^3 + n^3) + (-3n^2 + 3n^2) + (3n + 3n) + (-1 + 1)$

$S = 3n^3 + 0 + 6n + 0$

$S = 3n^3 + 6n$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$S = 3(n^3 + 2n)$

Поскольку $n$ — натуральное число, то выражение в скобках $(n^3 + 2n)$ также является целым числом. Таким образом, вся сумма $S$ представляет собой произведение числа 3 и целого числа, что по определению означает, что сумма $S$ делится нацело на 3.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.