Номер 1108, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Линейная функция, её график и свойства. Глава 2. Функции - номер 1108, страница 205.

Условие.

1108. Докажите, что при любом значении x значение выражения $|x| - x$ больше соответствующего значения выражения $2x - x^2 - 2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что при любом значении x значение выражения $|x| - x$ больше значения выражения $2x - x^2 - 2$, нам необходимо доказать следующее неравенство:

$$|x| - x > 2x - x^2 - 2$$

Перенесем все члены в левую часть неравенства и упростим:

$$|x| - x - 2x + x^2 + 2 > 0$$

$$x^2 - 3x + |x| + 2 > 0$$

Для доказательства этого неравенства рассмотрим два случая, в зависимости от знака переменной x.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ модуль числа x равен самому числу: $|x| = x$. Подставим это в наше неравенство:

$$x^2 - 3x + x + 2 > 0$$

$$x^2 - 2x + 2 > 0$$

Чтобы доказать, что это выражение всегда положительно, выделим полный квадрат:

$$x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$$

Выражение $(x - 1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого x. Тогда сумма $(x - 1)^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1, а значит, строго больше нуля.

$$(x - 1)^2 + 1 \ge 1 > 0$$

Следовательно, при $x \ge 0$ неравенство выполняется.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$ модуль числа x равен противоположному числу: $|x| = -x$. Подставим это в неравенство:

$$x^2 - 3x + (-x) + 2 > 0$$

$$x^2 - 4x + 2 > 0$$

Рассмотрим квадратичную функцию $y(x) = x^2 - 4x + 2$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$, чтобы определить интервалы, на которых функция положительна.

Вычислим дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$$

Найдем корни:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$

Парабола $y = x^2 - 4x + 2$ положительна при $x < 2 - \sqrt{2}$ и при $x > 2 + \sqrt{2}$.

В данном случае мы рассматриваем только $x < 0$. Оценим значение корня $x_1 = 2 - \sqrt{2}$. Поскольку $1 < \sqrt{2} < 2$, то $2-2 < 2-\sqrt{2} < 2-1$, что дает $0 < 2 - \sqrt{2} < 1$.

Так как мы рассматриваем значения $x < 0$, а корень $2 - \sqrt{2}$ является положительным числом, то все наши значения x удовлетворяют условию $x < 2 - \sqrt{2}$.

Следовательно, для любого $x < 0$ неравенство $x^2 - 4x + 2 > 0$ также выполняется.

Мы доказали, что неравенство верно как при $x \ge 0$, так и при $x < 0$, а значит, оно верно для любого действительного значения x.

Ответ: Утверждение доказано. Неравенство $|x| - x > 2x - x^2 - 2$ выполняется для всех действительных значений x.