Страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1101. Трое друзей решили создать фирму по производству мебели и договорились делить прибыль пропорционально общему вкладу в уставный капитал фирмы. Первый из них внёс 750 000 р., второй — 1 250 000 р., а третий — 1 750 000 р. По итогам первого года работы прибыль составила 9 000 000 р. Сколько денег должен получить каждый из них?

Чтобы определить, сколько денег должен получить каждый друг, необходимо разделить общую прибыль пропорционально их вкладам в уставный капитал. Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Нахождение общего уставного капитала
Для начала сложим вклады всех трех друзей, чтобы найти общую сумму инвестиций:
$750\ 000 + 1\ 250\ 000 + 1\ 750\ 000 = 3\ 750\ 000$ рублей.

2. Определение соотношения вкладов
Вклады друзей соотносятся как $750\ 000 : 1\ 250\ 000 : 1\ 750\ 000$. Чтобы упростить это соотношение, найдем их наибольший общий делитель. Можно заметить, что все числа делятся на $250\ 000$.
$750\ 000 \div 250\ 000 = 3$
$1\ 250\ 000 \div 250\ 000 = 5$
$1\ 750\ 000 \div 250\ 000 = 7$
Таким образом, прибыль будет делиться в соотношении $3:5:7$.

3. Расчет прибыли для каждого друга
Сначала найдем общее количество "частей" в данном соотношении:
$3 + 5 + 7 = 15$ частей.
Теперь определим, какая сумма прибыли приходится на одну часть. Для этого общую прибыль в $9\ 000\ 000$ рублей разделим на общее количество частей:
$9\ 000\ 000 \div 15 = 600\ 000$ рублей на одну часть.
Наконец, рассчитаем долю каждого друга, умножив стоимость одной части на количество его частей:
- Доля первого друга (3 части): $3 \times 600\ 000 = 1\ 800\ 000$ рублей.
- Доля второго друга (5 частей): $5 \times 600\ 000 = 3\ 000\ 000$ рублей.
- Доля третьего друга (7 частей): $7 \times 600\ 000 = 4\ 200\ 000$ рублей.

Для проверки можно сложить полученные суммы: $1\ 800\ 000 + 3\ 000\ 000 + 4\ 200\ 000 = 9\ 000\ 000$ рублей, что соответствует общей прибыли.

Ответ: первый друг должен получить $1\ 800\ 000$ р., второй — $3\ 000\ 000$ р., а третий — $4\ 200\ 000$ р.

1102. Пусть $A$ – множество делителей числа 96, $B$ – множество двузначных чисел, кратных числу 6. Запишите с помощью фигурных скобок множество $C$, состоящее из общих элементов множеств $A$ и $B$.

Для решения этой задачи необходимо последовательно определить элементы каждого из множеств A и B, а затем найти их пересечение — множество C, состоящее из их общих элементов.

Нахождение элементов множества A
Множество A — это множество всех натуральных делителей числа 96. Делитель — это число, на которое 96 делится без остатка. Чтобы найти все делители, перечислим их, например, находя пары множителей:
$1 \cdot 96 = 96$
$2 \cdot 48 = 96$
$3 \cdot 32 = 96$
$4 \cdot 24 = 96$
$6 \cdot 16 = 96$
$8 \cdot 12 = 96$
Таким образом, все делители числа 96 в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.
Запишем множество A:
$A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96\}$.

Нахождение элементов множества B
Множество B — это множество двузначных чисел (от 10 до 99 включительно), которые кратны числу 6.
Наименьшее двузначное число, кратное 6, — это $6 \cdot 2 = 12$.
Наибольшее двузначное число, кратное 6, можно найти, разделив 99 на 6. $99 \div 6 = 16$ (остаток 3). Значит, наибольшее такое число это $6 \cdot 16 = 96$.
Теперь перечислим все числа, кратные 6, от 12 до 96: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96.
Запишем множество B:
$B = \{12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96\}$.

Нахождение элементов множества C
Множество C состоит из общих элементов множеств A и B. Это пересечение множеств A и B, которое обозначается как $C = A \cap B$. Чтобы найти эти элементы, нужно выбрать из множества A те числа, которые также содержатся в множестве B.
$A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96\}$
$B = \{12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96\}$
Сравнивая два множества, мы видим, что общими элементами являются числа: 12, 24, 48 и 96. Все они являются и делителями 96, и двузначными числами, кратными 6.
Следовательно, искомое множество C, записанное с помощью фигурных скобок, есть:
$C = \{12, 24, 48, 96\}$.

Ответ: $C = \{12, 24, 48, 96\}$.

1103. Найдите значение выражения:

1) $(2 + 3a)(5 - a) - (2 - 3a)(5 + a)$ при $a = -1,5;$

2) $(3a + b)^2 - (3a - b)^2$ при $a = -3\frac{1}{3}, b = 0,3.$

1)

Сначала упростим данное выражение $(2 + 3a)(5 - a) - (2 - 3a)(5 + a)$. Для этого раскроем скобки в каждом произведении.

Раскроем первое произведение:
$(2 + 3a)(5 - a) = 2 \cdot 5 - 2 \cdot a + 3a \cdot 5 - 3a \cdot a = 10 - 2a + 15a - 3a^2 = 10 + 13a - 3a^2$.

Раскроем второе произведение:
$(2 - 3a)(5 + a) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot a - 3a \cdot 5 - 3a \cdot a = 10 + 2a - 15a - 3a^2 = 10 - 13a - 3a^2$.

Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(10 + 13a - 3a^2) - (10 - 13a - 3a^2) = 10 + 13a - 3a^2 - 10 + 13a + 3a^2$.

Приведем подобные слагаемые:
$(10 - 10) + (13a + 13a) + (-3a^2 + 3a^2) = 0 + 26a + 0 = 26a$.

Теперь подставим значение $a = -1,5$ в упрощенное выражение:
$26a = 26 \cdot (-1,5) = -39$.

Ответ: -39

2)

Упростим выражение $(3a + b)^2 - (3a - b)^2$. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В нашем случае $x = 3a + b$ и $y = 3a - b$.

Подставим наши значения в формулу:
$((3a + b) - (3a - b)) \cdot ((3a + b) + (3a - b))$.

Упростим выражение в каждой из скобок:
Первая скобка: $3a + b - 3a + b = 2b$.
Вторая скобка: $3a + b + 3a - b = 6a$.

Перемножим полученные выражения:
$(2b) \cdot (6a) = 12ab$.

Теперь подставим значения $a = -3\frac{1}{3}$ и $b = 0,3$ в упрощенное выражение.

Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $a = -3\frac{1}{3} = -\frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{10}{3}$.
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $b = 0,3 = \frac{3}{10}$.

Вычислим значение выражения:
$12ab = 12 \cdot (-\frac{10}{3}) \cdot \frac{3}{10} = 12 \cdot (-1) = -12$.

Ответ: -12

1104. Решите уравнение:

1) $(5x + 1)(2x - 3) = (10x - 9)(x + 2);$

2) $(7x - 1)(x + 5) = (3 + 7x)(x + 3).$

1)

Дано уравнение: $(5x + 1)(2x - 3) = (10x - 9)(x + 2)$.

Для решения раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого).

Левая часть: $(5x + 1)(2x - 3) = 5x \cdot 2x + 5x \cdot (-3) + 1 \cdot 2x + 1 \cdot (-3) = 10x^2 - 15x + 2x - 3$.

Приведем подобные слагаемые в левой части: $10x^2 - 13x - 3$.

Правая часть: $(10x - 9)(x + 2) = 10x \cdot x + 10x \cdot 2 - 9 \cdot x - 9 \cdot 2 = 10x^2 + 20x - 9x - 18$.

Приведем подобные слагаемые в правой части: $10x^2 + 11x - 18$.

Теперь приравняем полученные выражения:

$10x^2 - 13x - 3 = 10x^2 + 11x - 18$

Вычтем из обеих частей уравнения $10x^2$, так как этот член присутствует в обеих частях:

$-13x - 3 = 11x - 18$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону (например, вправо), а свободные члены — в другую (влево), меняя знаки при переносе:

$18 - 3 = 11x + 13x$

Выполним сложение и вычитание:

$15 = 24x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 24:

$x = \frac{15}{24}$

Сократим полученную дробь на 3:

$x = \frac{5}{8}$

Ответ: $\frac{5}{8}$.

2)

Дано уравнение: $(7x - 1)(x + 5) = (3 + 7x)(x + 3)$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть: $(7x - 1)(x + 5) = 7x \cdot x + 7x \cdot 5 - 1 \cdot x - 1 \cdot 5 = 7x^2 + 35x - x - 5$.

Приведем подобные слагаемые: $7x^2 + 34x - 5$.

Правая часть (заметив, что $3+7x$ это то же самое, что и $7x+3$): $(7x + 3)(x + 3) = 7x \cdot x + 7x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3 = 7x^2 + 21x + 3x + 9$.

Приведем подобные слагаемые: $7x^2 + 24x + 9$.

Приравняем полученные выражения:

$7x^2 + 34x - 5 = 7x^2 + 24x + 9$

Вычтем $7x^2$ из обеих частей уравнения:

$34x - 5 = 24x + 9$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя знаки:

$34x - 24x = 9 + 5$

Упростим обе части:

$10x = 14$

Найдем $x$, разделив обе части на 10:

$x = \frac{14}{10}$

Сократим дробь на 2:

$x = \frac{7}{5}$

Результат также можно записать в виде десятичной дроби $1.4$ или смешанного числа $1\frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{7}{5}$.

1105. Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.

Для доказательства обозначим три последовательных натуральных числа как $n-1$, $n$ и $n+1$. Так как числа должны быть натуральными, наименьшее из них, $n-1$, должно быть не меньше 1, то есть $n-1 \ge 1$, что означает $n \ge 2$.

Теперь составим сумму кубов этих чисел. Обозначим эту сумму буквой $S$:

$S = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$

Чтобы раскрыть скобки, воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба разности и куба суммы:

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Применим эти формулы к нашему выражению:

$(n-1)^3 = n^3 - 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 - 1^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$

$(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 + 1^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$

Теперь подставим раскрытые выражения обратно в сумму $S$ и упростим её:

$S = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$S = (n^3 + n^3 + n^3) + (-3n^2 + 3n^2) + (3n + 3n) + (-1 + 1)$

$S = 3n^3 + 0 + 6n + 0$

$S = 3n^3 + 6n$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$S = 3(n^3 + 2n)$

Поскольку $n$ — натуральное число, то выражение в скобках $(n^3 + 2n)$ также является целым числом. Таким образом, вся сумма $S$ представляет собой произведение числа 3 и целого числа, что по определению означает, что сумма $S$ делится нацело на 3.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1106. В двух кадках было поровну воды. Объём воды в первой кадке сначала увеличили на 10%, а потом уменьшили на 10%. Объём воды во второй кадке, наоборот, сначала уменьшили на 10%, а потом увеличили на 10%. В какой кадке воды стало больше?

Для решения этой задачи обозначим первоначальный объём воды в каждой кадке как $V$.

Изменения в первой кадке

Сначала объём воды увеличили на 10%. Это действие математически эквивалентно умножению первоначального объёма на 1,1. Новый объём стал:

$V_1 = V \times (1 + \frac{10}{100}) = V \times 1.1 = 1.1V$

Затем полученный объём $1.1V$ уменьшили на 10%. Важно, что 10% теперь вычисляются от нового, большего объёма. Это действие эквивалентно умножению на 0,9. Конечный объём в первой кадке равен:

$V_{конечный1} = 1.1V \times (1 - \frac{10}{100}) = 1.1V \times 0.9 = 0.99V$

Изменения во второй кадке

Сначала объём воды уменьшили на 10%, что эквивалентно умножению на 0,9. Новый объём стал:

$V_2 = V \times (1 - \frac{10}{100}) = V \times 0.9 = 0.9V$

Затем полученный объём $0.9V$ увеличили на 10%. 10% теперь вычисляются от нового, меньшего объёма. Это действие эквивалентно умножению на 1,1. Конечный объём во второй кадке равен:

$V_{конечный2} = 0.9V \times (1 + \frac{10}{100}) = 0.9V \times 1.1 = 0.99V$

Сравнение и вывод

Сравнивая конечные объёмы воды в обеих кадках, мы видим, что они равны:

$V_{конечный1} = 0.99V$

$V_{конечный2} = 0.99V$

Это происходит из-за коммутативного (переместительного) свойства умножения: порядок множителей не влияет на произведение ($1.1 \times 0.9 = 0.9 \times 1.1$). В обоих случаях итоговый объём составил 99% от первоначального.

Ответ: В обеих кадках воды стало поровну.

1107. Известно, что $x^2+y^2=a$, $xy=b$. Чему равно значение выражения $x^4+x^2y^2+y^4$?

Дано: $x^2 + y^2 = a$ и $xy = b$.
Нужно найти значение выражения $x^4 + x^2y^2 + y^4$.

Для нахождения значения выражения преобразуем его, используя известные тождества сокращенного умножения. Искомое выражение $x^4 + x^2y^2 + y^4$ можно представить, дополнив его до полного квадрата суммы.

Формула квадрата суммы двух выражений: $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.
Рассмотрим выражение $(x^2 + y^2)^2$:
$(x^2 + y^2)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$.

Теперь преобразуем исходное выражение $x^4 + x^2y^2 + y^4$, добавив и отняв $x^2y^2$, чтобы выделить полный квадрат:
$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2$

Сгруппировав первые три слагаемых, мы получаем полный квадрат, а оставшийся член можно записать как квадрат произведения:
$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$

Теперь подставим в полученное выражение значения из условия задачи: $x^2 + y^2 = a$ и $xy = b$.
$(a)^2 - (b)^2 = a^2 - b^2$

Таким образом, значение выражения $x^4 + x^2y^2 + y^4$ равно $a^2 - b^2$.

Ответ: $a^2 - b^2$

1108. Докажите, что при любом значении x значение выражения $|x| - x$ больше соответствующего значения выражения $2x - x^2 - 2$.

Чтобы доказать, что при любом значении x значение выражения $|x| - x$ больше значения выражения $2x - x^2 - 2$, нам необходимо доказать следующее неравенство:

$$|x| - x > 2x - x^2 - 2$$

Перенесем все члены в левую часть неравенства и упростим:

$$|x| - x - 2x + x^2 + 2 > 0$$

$$x^2 - 3x + |x| + 2 > 0$$

Для доказательства этого неравенства рассмотрим два случая, в зависимости от знака переменной x.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ модуль числа x равен самому числу: $|x| = x$. Подставим это в наше неравенство:

$$x^2 - 3x + x + 2 > 0$$

$$x^2 - 2x + 2 > 0$$

Чтобы доказать, что это выражение всегда положительно, выделим полный квадрат:

$$x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$$

Выражение $(x - 1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого x. Тогда сумма $(x - 1)^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1, а значит, строго больше нуля.

$$(x - 1)^2 + 1 \ge 1 > 0$$

Следовательно, при $x \ge 0$ неравенство выполняется.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$ модуль числа x равен противоположному числу: $|x| = -x$. Подставим это в неравенство:

$$x^2 - 3x + (-x) + 2 > 0$$

$$x^2 - 4x + 2 > 0$$

Рассмотрим квадратичную функцию $y(x) = x^2 - 4x + 2$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$, чтобы определить интервалы, на которых функция положительна.

Вычислим дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$$

Найдем корни:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$

Парабола $y = x^2 - 4x + 2$ положительна при $x < 2 - \sqrt{2}$ и при $x > 2 + \sqrt{2}$.

В данном случае мы рассматриваем только $x < 0$. Оценим значение корня $x_1 = 2 - \sqrt{2}$. Поскольку $1 < \sqrt{2} < 2$, то $2-2 < 2-\sqrt{2} < 2-1$, что дает $0 < 2 - \sqrt{2} < 1$.

Так как мы рассматриваем значения $x < 0$, а корень $2 - \sqrt{2}$ является положительным числом, то все наши значения x удовлетворяют условию $x < 2 - \sqrt{2}$.

Следовательно, для любого $x < 0$ неравенство $x^2 - 4x + 2 > 0$ также выполняется.

Мы доказали, что неравенство верно как при $x \ge 0$, так и при $x < 0$, а значит, оно верно для любого действительного значения x.

Ответ: Утверждение доказано. Неравенство $|x| - x > 2x - x^2 - 2$ выполняется для всех действительных значений x.

1109. Найдите значение выражения:

1) $0.1x + 5y$, если $x = -4$, $y = 0.6$;

2) $x^2 - 3y + 7$, если $x = 6$, $y = -2$;

3) $|x| + |y - 6|$, если $x = -10$, $y = 2$;

4) $(2y - 3)^2 - (x + 4)^2$, если $x = -4$, $y = 1.5$.

1) Для нахождения значения выражения $0,1x + 5y$ подставим в него заданные значения $x = -4$ и $y = 0,6$.
Выполним вычисления:
$0,1 \cdot (-4) + 5 \cdot 0,6 = -0,4 + 3 = 2,6$.
Ответ: 2,6.

2) Для нахождения значения выражения $x^2 - 3y + 7$ подставим в него заданные значения $x = 6$ и $y = -2$.
Выполним вычисления:
$6^2 - 3 \cdot (-2) + 7 = 36 - (-6) + 7 = 36 + 6 + 7 = 49$.
Ответ: 49.

3) Для нахождения значения выражения $|x| + |y - 6|$ подставим в него заданные значения $x = -10$ и $y = 2$.
Выполним вычисления:
$|-10| + |2 - 6| = |-10| + |-4|$.
По определению модуля числа, $|-10| = 10$ и $|-4| = 4$.
$10 + 4 = 14$.
Ответ: 14.

4) Для нахождения значения выражения $(2y - 3)^2 - (x + 4)^2$ подставим в него заданные значения $x = -4$ и $y = 1,5$.
Выполним вычисления:
$(2 \cdot 1,5 - 3)^2 - (-4 + 4)^2 = (3 - 3)^2 - (0)^2 = 0^2 - 0^2 = 0 - 0 = 0$.
Ответ: 0.

1110.Изобразите на координатной плоскости все точки $(x; y)$ такие, что:

1) $x = -3$, $y$ — произвольное число;

2) $y = 2$, $x$ — произвольное число;

3) $x = 0$, $y$ — произвольное число.

1) $x = -3$, $y$ — произвольное число;

В данном случае абсцисса (координата $x$) любой точки фиксирована и равна -3, в то время как ордината (координата $y$) может принимать любое действительное значение. Примеры таких точек: $(-3, 0)$, $(-3, 1)$, $(-3, -5)$, $(-3, 2.5)$. На координатной плоскости все эти точки будут лежать на одной прямой. Эта прямая является вертикальной, она проходит через точку $(-3, 0)$ на оси $Ox$ и параллельна оси ординат $Oy$. Уравнение этой прямой $x = -3$.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых $x = -3$ и $y$ — произвольное число, представляет собой вертикальную прямую, проходящую через точку $(-3, 0)$ параллельно оси $y$.

2) $y = 2$, $x$ — произвольное число;

Здесь ордината (координата $y$) любой точки фиксирована и равна 2, а абсцисса (координата $x$) может быть любым числом. Примеры таких точек: $(0, 2)$, $(1, 2)$, $(-4, 2)$, $(5, 2)$. На координатной плоскости все эти точки будут лежать на одной прямой. Эта прямая является горизонтальной, она проходит через точку $(0, 2)$ на оси $Oy$ и параллельна оси абсцисс $Ox$. Уравнение этой прямой $y = 2$.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых $y = 2$ и $x$ — произвольное число, представляет собой горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0, 2)$ параллельно оси $x$.

3) $x = 0$, $y$ — произвольное число.

В этом случае абсцисса (координата $x$) всех точек равна 0, а ордината (координата $y$) может быть любым числом. Примеры таких точек: $(0, 0)$, $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(0, 10)$. Все точки, у которых абсцисса равна нулю, по определению лежат на оси ординат (оси $y$). Таким образом, искомое множество точек — это сама ось $y$. Уравнение оси ординат — $x = 0$.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых $x = 0$ и $y$ — произвольное число, представляет собой ось ординат (ось $y$).