Страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1080. Найдите значение $b$, при котором график функции $y = -\frac{1}{9}x + b$ проходит через точку $A (-27; 4)$.

По условию задачи, график функции $y = -\frac{1}{9}x + b$ проходит через точку A с координатами (-27; 4). Это означает, что при подстановке координат точки A в уравнение функции, мы получим верное равенство.

В точке A абсцисса $x = -27$, а ордината $y = 4$. Подставим эти значения в уравнение функции:

$4 = -\frac{1}{9} \cdot (-27) + b$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно переменной b. Выполним умножение в правой части уравнения:

$-\frac{1}{9} \cdot (-27) = \frac{1 \cdot 27}{9} = \frac{27}{9} = 3$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$4 = 3 + b$

Чтобы найти b, перенесем 3 в левую часть уравнения, изменив знак:

$b = 4 - 3$

$b = 1$

Следовательно, при $b=1$ график функции проходит через заданную точку.

Ответ: 1.

1081. При каком значении $k$ график функции $y = kx - 15$ проходит через точку $B(3;-6)$?

Для того чтобы график функции $y = kx - 15$ проходил через точку $B(3; -6)$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Это означает, что если подставить значения $x=3$ и $y=-6$ в уравнение, оно должно стать верным равенством.

Подставим координаты точки $B(3; -6)$ в уравнение $y = kx - 15$.
В данном случае, абсцисса $x = 3$, а ордината $y = -6$.

Получаем уравнение с одной неизвестной $k$:
$-6 = k \cdot 3 - 15$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $k$. Для удобства поменяем местами левую и правую части уравнения:
$3k - 15 = -6$

Прибавим 15 к обеим частям уравнения (или, что то же самое, перенесем $-15$ в правую часть, изменив знак на "+"):
$3k = -6 + 15$

Вычислим значение в правой части:
$3k = 9$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на 3:
$k = \frac{9}{3}$
$k = 3$

Таким образом, при $k=3$ график функции пройдет через заданную точку.

Проверка:
Подставим найденное значение $k=3$ в исходное уравнение функции: $y = 3x - 15$.
Теперь подставим в него координаты точки $B(3; -6)$:
$-6 = 3 \cdot 3 - 15$
$-6 = 9 - 15$
$-6 = -6$
Получено верное равенство, следовательно, значение $k$ найдено правильно.

Ответ: 3

1082. График функции $y = kx + b$ пересекает оси координат в точках C $(0; 4)$ и D $(-8; 0)$. Найдите значения $k$ и $b$.

Дана функция $y = kx + b$. График этой функции представляет собой прямую линию. Нам известно, что эта прямая проходит через две точки с заданными координатами: $C(0; 4)$ и $D(-8; 0)$.

Поскольку обе точки принадлежат графику функции, их координаты должны удовлетворять уравнению $y = kx + b$. Мы можем составить систему из двух уравнений, подставив в него поочередно координаты каждой точки.

1. Подставим координаты точки $C(0; 4)$ в уравнение функции. Здесь $x = 0$ и $y = 4$:
$4 = k \cdot 0 + b$
$4 = 0 + b$
$b = 4$

Таким образом, мы сразу находим значение коэффициента $b$. Этот коэффициент всегда равен ординате точки пересечения графика с осью $Oy$.

2. Теперь подставим координаты точки $D(-8; 0)$ в уравнение функции. Здесь $x = -8$ и $y = 0$. Также используем уже найденное значение $b = 4$:
$0 = k \cdot (-8) + 4$
$0 = -8k + 4$

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$:
$8k = 4$
$k = \frac{4}{8}$
$k = \frac{1}{2} = 0.5$

Мы нашли значения обоих коэффициентов. Уравнение функции имеет вид $y = 0.5x + 4$.

Ответ: $k = 0.5$, $b = 4$.

1083. График функции $y = kx + b$ пересекает оси координат в точках $M(3; 0)$ и $K(0; -1)$. Найдите значения $k$ и $b$.

Дана функция $y = kx + b$. График этой функции — прямая линия. Нам известно, что эта прямая проходит через две точки: $M(3; 0)$ и $K(0; -1)$. Это означает, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению функции. Мы можем использовать это для нахождения коэффициентов $k$ и $b$.

Подставим координаты точки $K(0; -1)$ в уравнение $y = kx + b$. В этой точке $x=0$ и $y=-1$:
$-1 = k \cdot 0 + b$
$-1 = 0 + b$
$b = -1$

Теперь мы знаем значение коэффициента $b$. Подставим его и координаты точки $M(3; 0)$ в уравнение функции. В этой точке $x=3$ и $y=0$:
$y = kx + b$
$0 = k \cdot 3 + (-1)$
$0 = 3k - 1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$:
$3k = 1$
$k = \frac{1}{3}$

Итак, мы определили значения обоих коэффициентов.

Ответ: $k = \frac{1}{3}$, $b = -1$.

1084. Все точки графика функции $y = kx + b$ имеют одинаковую ординату, равную $-6$. Найдите значения $k$ и $b$.

Условие задачи гласит, что все точки графика функции $y = kx + b$ имеют одинаковую ординату, равную -6. Ордината точки — это ее координата по оси $y$.

Это означает, что для любого значения абсциссы $x$ значение функции $y$ всегда будет равно -6. Следовательно, уравнение функции можно записать в виде $y = -6$.

Теперь приравняем общее уравнение функции и полученное из условия: $kx + b = -6$

Это равенство должно выполняться для абсолютно любого значения $x$. Выражение в левой части ($kx + b$) будет постоянным и не будет зависеть от $x$ только в том случае, если член, содержащий $x$, будет равен нулю. Это возможно, только если коэффициент при $x$ равен нулю.

Таким образом, мы приходим к выводу, что $k = 0$.

Подставим найденное значение $k$ в наше уравнение: $0 \cdot x + b = -6$

$0 + b = -6$

$b = -6$

Геометрически, график функции, у которой все точки имеют одинаковую ординату, представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (горизонтальную прямую). Угловой коэффициент $k$ (тангенс угла наклона) такой прямой всегда равен нулю. Коэффициент $b$ в уравнении прямой $y = kx + b$ показывает точку пересечения с осью ординат. В нашем случае эта точка имеет координаты $(0, -6)$, следовательно $b = -6$.

Ответ: $k=0$, $b=-6$.

1085. График функции $y = kx + b$ параллелен оси абсцисс и проходит через точку $A (-2; 3)$. Найдите значения $k$ и $b$.

Нам дана линейная функция, которая имеет вид $y = kx + b$.

1. Найдем значение коэффициента k.
По условию задачи, график функции параллелен оси абсцисс (оси Ox). Уравнение оси абсцисс — $y=0$. Все прямые, параллельные оси абсцисс, являются горизонтальными, и их угловой коэффициент равен нулю. В уравнении прямой $y = kx + b$ угловой коэффициент — это $k$. Следовательно, для выполнения условия параллельности оси абсцисс, необходимо, чтобы $k = 0$.

2. Найдем значение коэффициента b.
После того как мы определили, что $k = 0$, уравнение функции принимает вид $y = 0 \cdot x + b$, что упрощается до $y = b$.

Нам известно, что график функции проходит через точку A с координатами (–2; 3). Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. Подставим значения $x = -2$ и $y = 3$ в полученное нами уравнение $y = b$.

Поскольку в уравнении $y = b$ значение $y$ не зависит от $x$ и всегда постоянно, то для точки A(–2; 3) мы получаем: $3 = b$

Таким образом, мы нашли оба коэффициента: $k = 0$ и $b = 3$. Уравнение функции имеет вид $y = 3$.

Ответ: $k = 0, b = 3$.

1086. Один из графиков, изображённых на рисунке 59, отображает процесс наполнения одного бака водой, а другой — вытекания воды из другого бака.

1) Каким процессам соответствуют графики на рисунке 59?

2) Сколько воды было сначала в каждом баке?

3) Сколько воды было в каждом баке: через 2 мин после открытия кранов; через 6 мин?

4) Через сколько минут после открытия кранов в каждом баке было по 30 л воды?

5) Сколько литров воды каждую минуту наливается в один бак и сколько выливается из другого?

6) Задайте формулой зависимость количества воды в каждом баке от времени.

Рис. 59

a

$y$, л

$x$, мин

б

$y$, л

$x$, мин

1) Каким процессам соответствуют графики на рисунке 59?
График 'а' показывает, как количество воды в баке со временем уменьшается. В начальный момент времени ($x=0$) в баке было 50 литров, а через 10 минут ($x=10$) бак стал пустым ($y=0$). Следовательно, этот график описывает процесс вытекания воды из бака.
График 'б' показывает, как количество воды в баке со временем увеличивается. В начальный момент ($x=0$) в баке было 10 литров, а с течением времени объем воды растет. Следовательно, этот график описывает процесс наполнения бака водой.
Ответ: график 'а' соответствует процессу вытекания воды, а график 'б' — процессу наполнения.

2) Сколько воды было сначала в каждом баке?
Чтобы определить начальное количество воды, нужно посмотреть на значение $y$ (объем воды) при $x=0$ (начальный момент времени) на каждом графике.
На графике 'а' при $x=0$, $y=50$.
На графике 'б' при $x=0$, $y=10$.
Ответ: в баке 'а' сначала было 50 л воды, в баке 'б' — 10 л воды.

3) Сколько воды было в каждом баке: через 2 мин после открытия кранов; через 6 мин?
Чтобы найти количество воды в определенный момент времени, нужно найти на оси $x$ нужное значение времени и посмотреть, какому значению $y$ оно соответствует на графике.
Через 2 мин:
- Бак 'а': при $x=2$ мин, значение на графике $y=40$ л.
- Бак 'б': при $x=2$ мин, значение на графике $y=15$ л.
Через 6 мин:
- Бак 'а': при $x=6$ мин, значение на графике $y=20$ л.
- Бак 'б': при $x=6$ мин, значение на графике $y=25$ л.
Ответ: через 2 минуты в баке 'а' было 40 л, а в баке 'б' — 15 л; через 6 минут в баке 'а' было 20 л, а в баке 'б' — 25 л.

4) Через сколько минут после открытия кранов в каждом баке было по 30 л воды?
Чтобы найти время, когда в баке было определенное количество воды, нужно найти на оси $y$ значение 30 л и посмотреть, какому значению $x$ оно соответствует на каждом графике.
- Бак 'а': значение $y=30$ л достигается при $x=4$ мин.
- Бак 'б': значение $y=30$ л достигается при $x=8$ мин.
Ответ: в баке 'а' было 30 л через 4 минуты, а в баке 'б' — через 8 минут.

5) Сколько литров воды каждую минуту наливается в один бак и сколько выливается из другого?
Скорость изменения объема — это отношение изменения объема ко времени, за которое это изменение произошло.
- Для бака 'а' (вытекание): за 10 минут объем уменьшился на 50 л (с 50 до 0). Скорость вытекания: $\frac{50 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = 5$ л/мин.
- Для бака 'б' (наполнение): за 10 минут объем увеличился с 10 л до 35 л, то есть на $35 - 10 = 25$ л. Скорость наполнения: $\frac{25 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = 2.5$ л/мин.
Ответ: в бак 'б' каждую минуту наливается 2,5 л воды, а из бака 'а' выливается 5 л воды.

6) Задайте формулой зависимость количества воды в каждом баке от времени.
Зависимость количества воды ($y$) от времени ($x$) является линейной и может быть описана уравнением прямой $y = kx + b$, где $b$ — начальное количество воды (при $x=0$), а $k$ — скорость изменения объема (значение из предыдущего пункта).
- Для бака 'а' (вытекание): начальный объем $b=50$ л. Вода вытекает, поэтому скорость отрицательна: $k=-5$ л/мин. Формула: $y = -5x + 50$ или $y = 50 - 5x$.
- Для бака 'б' (наполнение): начальный объем $b=10$ л. Вода наливается, поэтому скорость положительна: $k=2.5$ л/мин. Формула: $y = 2.5x + 10$.
Ответ: для бака 'а' (вытекание) формула: $y = 50 - 5x$; для бака 'б' (наполнение) формула: $y = 2.5x + 10$.