Страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1087. Какая из прямых, изображённых на рисунке 60, является графиком функции:

1) $y = x$;

2) $y = 4x$;

3) $y = \frac{1}{4}x$;

4) $y = -\frac{1}{4}x?$

Рис. 60

1) $y = x$

Все представленные функции имеют вид $y=kx$. Это линейные функции, графиками которых являются прямые, проходящие через начало координат (точку с координатами $(0,0)$). Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет наклон прямой.

Для функции $y=x$ угловой коэффициент $k=1$. Поскольку $k>0$, график функции возрастает и расположен в I и III координатных четвертях. Значение $k=1$ означает, что прямая является биссектрисой этих четвертей, то есть проходит через точки, у которых абсцисса равна ординате, например, $(1,1)$, $(2,2)$ и т.д. На рисунке 60 этим условиям соответствует прямая b.

Ответ: b.

2) $y = 4x$

Для функции $y=4x$ угловой коэффициент $k=4$. Так как $k>0$, график также расположен в I и III координатных четвертях. Поскольку $|4| > |1|$, эта прямая должна быть наклонена к оси $x$ под большим углом, чем прямая $y=x$, то есть быть "круче". Для проверки найдем точку на графике: при $x=1$, $y=4 \cdot 1=4$. Прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(1,4)$. На рисунке 60 это прямая a.

Ответ: a.

3) $y = \frac{1}{4}x$

Для функции $y = \frac{1}{4}x$ угловой коэффициент $k = \frac{1}{4}$. Так как $k>0$, график расположен в I и III координатных четвертях. Поскольку $| \frac{1}{4} | < |1|$, эта прямая должна быть наклонена к оси $x$ под меньшим углом, чем прямая $y=x$, то есть быть более "пологой". Для проверки найдем точку на графике: при $x=4$, $y=\frac{1}{4} \cdot 4=1$. Прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(4,1)$. На рисунке 60 это прямая c.

Ответ: c.

4) $y = -\frac{1}{4}x$

Для функции $y = -\frac{1}{4}x$ угловой коэффициент $k = -\frac{1}{4}$. Поскольку $k<0$, график функции убывает и расположен во II и IV координатных четвертях. На рисунке только одна прямая, d, удовлетворяет этому условию. Для проверки найдем точку на графике: при $x=4$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 4 = -1$. Прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(4,-1)$. Это в точности соответствует прямой d на рисунке.

Ответ: d.

1088. Какая из прямых, изображённых на рисунке 61, является графиком функции:

1) $y = -x$;

2) $y = 3x$;

3) $y = -\frac{1}{2}x$;

4) $y = -2x?$

Рис. 61

Чтобы определить, какая из прямых на рисунке является графиком каждой из заданных функций, необходимо проанализировать угловые коэффициенты функций и сопоставить их с наклоном и расположением прямых.

Все функции имеют вид $y = kx$, их графики — это прямые, проходящие через начало координат (0, 0). Коэффициент $k$ определяет наклон (угловой коэффициент) прямой:

• Если $k > 0$, прямая расположена в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$, прямая расположена во II и IV координатных четвертях.
• Чем больше абсолютное значение коэффициента, $|k|$, тем круче наклон прямой (ближе к оси $y$).

Угловой коэффициент $k = -1$. Так как $k < 0$, график расположен во II и IV четвертях. Этому условию соответствуют прямые $m$, $n$ и $p$.
Для нахождения соответствующей прямой можно использовать контрольную точку. Например, при $x = -1$, функция дает $y = -(-1) = 1$. Точка $(-1, 1)$ лежит на прямой $n$.
Также можно сравнить крутизну наклона. $|k| = |-1| = 1$. Среди прямых с отрицательным наклоном, прямая $n$ имеет средний наклон, круче чем $m$ ($|k|=0.5$) и положе чем $p$ ($|k|=2$).

Ответ: прямая $n$.

Угловой коэффициент $k = 3$. Так как $k > 0$, график расположен в I и III четвертях. На рисунке этому условию соответствует только одна прямая — $k$.
Проверим по точке: при $x=1$, $y = 3 \cdot 1 = 3$. Точка $(1, 3)$ действительно лежит на прямой $k$.

Ответ: прямая $k$.

Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2} = -0.5$. Так как $k < 0$, график расположен во II и IV четвертях.
Абсолютное значение коэффициента $|k| = 0.5$. Это наименьший по модулю коэффициент среди всех отрицательных, значит, график этой функции будет самым пологим (ближе к оси $x$). На рисунке это прямая $m$.
Проверим по точке: при $x=-2$, $y = -\frac{1}{2} \cdot (-2) = 1$. Точка $(-2, 1)$ лежит на прямой $m$.

Ответ: прямая $m$.

Угловой коэффициент $k = -2$. Так как $k < 0$, график расположен во II и IV четвертях.
Абсолютное значение коэффициента $|k| = 2$. Это наибольший по модулю коэффициент среди всех отрицательных, значит, график этой функции будет самым крутым (ближе к оси $y$). На рисунке это прямая $p$.
Проверим по точке: при $x=-1$, $y = -2 \cdot (-1) = 2$. Точка $(-1, 2)$ лежит на прямой $p$.

Ответ: прямая $p$.

1089. Задайте формулой какие-нибудь две линейные функции, графики которых проходят через точку:

1) A $(0; 4)$

2) B $(1; 3)$

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – свободный член (ордината точки пересечения графика с осью Oy). Чтобы график функции проходил через заданную точку, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых, поэтому для каждой задачи существует множество правильных ответов. Мы приведем по два примера для каждого случая.

1) A (0; 4)
Подставим координаты точки $A(0; 4)$ в уравнение линейной функции $y = kx + b$:
$4 = k \cdot 0 + b$
$4 = 0 + b$
$b = 4$
Это означает, что любая прямая, проходящая через точку $A(0; 4)$, будет иметь свободный член $b=4$. Угловой коэффициент $k$ может быть любым. Выберем два произвольных значения для $k$.

Пример 1:
Пусть $k = 2$. Тогда уравнение функции будет иметь вид: $y = 2x + 4$.
Проверка: при $x=0$, $y = 2 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка $A(0; 4)$ принадлежит графику.

Пример 2:
Пусть $k = -5$. Тогда уравнение функции будет иметь вид: $y = -5x + 4$.
Проверка: при $x=0$, $y = -5 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка $A(0; 4)$ принадлежит графику.

Ответ: $y = 2x + 4$ и $y = -5x + 4$.

2) B (1; 3)
Подставим координаты точки $B(1; 3)$ в уравнение линейной функции $y = kx + b$:
$3 = k \cdot 1 + b$
$3 = k + b$
Мы получили соотношение между коэффициентами $k$ и $b$. Мы можем выбрать любое значение для одного из коэффициентов и вычислить другой. Выберем две разные пары коэффициентов.

Пример 1:
Пусть $k = 1$. Тогда $b$ можно найти из уравнения $3 = 1 + b$, откуда $b = 2$.
Уравнение первой функции: $y = x + 2$.
Проверка: при $x=1$, $y = 1 + 2 = 3$. Точка $B(1; 3)$ принадлежит графику.

Пример 2:
Пусть $k = 4$. Тогда $b$ можно найти из уравнения $3 = 4 + b$, откуда $b = -1$.
Уравнение второй функции: $y = 4x - 1$.
Проверка: при $x=1$, $y = 4 \cdot 1 - 1 = 3$. Точка $B(1; 3)$ принадлежит графику.

Ответ: $y = x + 2$ и $y = 4x - 1$.

1090. Графики функций $y = 0,5x - 3$, $y = -4x + 6$ и $y = kx$ пересекаются в одной точке. Найдите значение $k$. Постройте в одной системе координат графики этих функций.

Найдите значение k.

По условию, графики трех функций $y = 0,5x - 3$, $y = -4x + 6$ и $y = kx$ пересекаются в одной точке. Это означает, что координаты этой общей точки удовлетворяют всем трем уравнениям.

Сначала найдем точку пересечения первых двух графиков, решив систему уравнений: $$ \begin{cases} y = 0,5x - 3 \\ y = -4x + 6 \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения значения $y$ для обеих функций одинаковы: $$0,5x - 3 = -4x + 6$$ Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую: $$0,5x + 4x = 6 + 3$$ $$4,5x = 9$$ Теперь найдем $x$: $$x = \frac{9}{4,5} = 2$$

Далее найдем соответствующее значение $y$, подставив найденное значение $x = 2$ в любое из двух исходных уравнений. Подставим в первое: $$y = 0,5 \cdot 2 - 3 = 1 - 3 = -2$$ Для проверки можно подставить и во второе уравнение: $$y = -4 \cdot 2 + 6 = -8 + 6 = -2$$ Таким образом, точка пересечения первых двух графиков — это точка A с координатами $(2; -2)$.

Поскольку все три графика пересекаются в этой точке, то ее координаты $(2; -2)$ должны удовлетворять и третьему уравнению $y = kx$. Подставим значения $x = 2$ и $y = -2$ в это уравнение, чтобы найти коэффициент $k$: $$-2 = k \cdot 2$$ Отсюда выражаем $k$: $$k = \frac{-2}{2} = -1$$

Ответ: $k = -1$.

Постройте в одной системе координат графики этих функций.

Теперь у нас есть уравнения всех трех линейных функций:

1. $y = 0,5x - 3$
2. $y = -4x + 6$
3. $y = -x$ (поскольку мы нашли, что $k=-1$)

Для построения графика каждой линейной функции достаточно знать две точки, через которые она проходит. Мы уже знаем одну общую точку для всех трех графиков — $A(2; -2)$. Найдем по еще одной точке для каждой прямой, выбрав удобное значение $x$ (например, $x=0$).

1. Для функции $y = 0,5x - 3$:
   Точка 1: $A(2; -2)$.
   Точка 2: при $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0; -3)$.
2. Для функции $y = -4x + 6$:
   Точка 1: $A(2; -2)$.
   Точка 2: при $x = 0$, $y = -4 \cdot 0 + 6 = 6$. Получаем точку $(0; 6)$.
3. Для функции $y = -x$:
   Точка 1: $A(2; -2)$.
   Точка 2: при $x = 0$, $y = -0 = 0$. Получаем точку $(0; 0)$ (начало координат).

Построим графики в одной системе координат. Все три прямые должны пересечься в точке $A(2; -2)$.

Ответ:

1091. При каком значении $b$ графики функций $y = 1.5x - 3$, $y = 2.5x + 1$ и $y = 5x + b$ пересекаются в одной точке?

Чтобы графики трех функций пересекались в одной точке, необходимо, чтобы координаты этой точки удовлетворяли каждому из трех уравнений. План решения следующий: сначала мы найдем координаты точки пересечения двух известных функций, а затем подставим эти координаты в уравнение третьей функции, чтобы найти неизвестный параметр $b$.

Шаг 1: Нахождение точки пересечения первых двух графиков.

Даны две функции:

$y = 1,5x - 3$

$y = 2,5x + 1$

В точке пересечения значения $y$ равны, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:

$1,5x - 3 = 2,5x + 1$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$:

$-3 - 1 = 2,5x - 1,5x$

$-4 = 1x$

$x = -4$

Теперь, когда мы нашли координату $x$, подставим ее в любое из первых двух уравнений, чтобы найти координату $y$. Используем первое уравнение:

$y = 1,5 \cdot (-4) - 3$

$y = -6 - 3$

$y = -9$

Таким образом, точка пересечения первых двух графиков — это точка с координатами $(-4; -9)$.

Шаг 2: Нахождение значения $b$.

Третий график, заданный уравнением $y = 5x + b$, должен также проходить через точку $(-4; -9)$. Подставим координаты этой точки в уравнение:

$-9 = 5 \cdot (-4) + b$

Решим полученное уравнение относительно $b$:

$-9 = -20 + b$

$b = 20 - 9$

$b = 11$

Итак, при значении $b = 11$ все три графика пересекутся в одной точке $(-4; -9)$.

Ответ: $b = 11$.

1092. Точка $C$ принадлежит отрезку $AB$, длина которого равна 8. Длина отрезка $AC$ равна $x$, длина отрезка $BC$ – $y$. Постройте график зависимости $y$ от $x$, $0 < x < 8$. Отметьте на этом графике точку, соответствующую случаю, когда точка $C$ – середина отрезка $AB$.

1. Нахождение зависимости y от x

По условию задачи, точка C принадлежит отрезку AB. Это означает, что сумма длин отрезков AC и BC равна длине всего отрезка AB.

Длина отрезка AB равна 8.

Длина отрезка AC равна $x$.

Длина отрезка BC равна $y$.

Таким образом, мы можем записать равенство: $AC + BC = AB$, что в наших переменных выглядит как $x + y = 8$.

Чтобы найти зависимость $y$ от $x$, выразим $y$ из этого уравнения:

$y = 8 - x$

Эта зависимость определена для $x$ в интервале $(0, 8)$, как указано в условии: $0 < x < 8$.

Ответ: Зависимость $y$ от $x$ выражается формулой $y = 8 - x$ при $0 < x < 8$.

2. Построение графика

Функция $y = 8 - x$ является линейной, ее график — прямая линия. Для построения графика достаточно найти две точки, принадлежащие этой прямой.

Найдем координаты граничных точек для интервала $0 < x < 8$:

• При $x \to 0$, $y \to 8$. Координаты первой граничной точки $(0, 8)$.
• При $x \to 8$, $y \to 0$. Координаты второй граничной точки $(8, 0)$.

Так как неравенство $0 < x < 8$ строгое, сами точки $(0, 8)$ и $(8, 0)$ не принадлежат графику. На чертеже их принято отмечать выколотыми (пустыми) кружками.

Графиком зависимости является отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 8)$ и $(8, 0)$, без самих этих точек.

Ответ: График функции $y = 8 - x$ на интервале $0 < x < 8$ — это отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(0, 8)$ и $(8, 0)$, причем концы отрезка не включаются в график.

3. Отметить на графике точку, соответствующую случаю, когда точка C — середина отрезка AB

Если точка C является серединой отрезка AB, то она делит его на два равных отрезка: $AC = BC$.

В наших переменных это условие записывается как $x = y$.

Чтобы найти координаты этой точки на графике, нужно решить систему из двух уравнений:

1. $y = 8 - x$ (уравнение нашего графика)

2. $y = x$ (условие середины отрезка)

Подставим второе уравнение в первое:

$x = 8 - x$

$2x = 8$

$x = 4$

Поскольку $y = x$, то $y$ также равен 4.

Таким образом, точка, соответствующая середине отрезка AB, имеет координаты $(4, 4)$. Эта точка лежит на построенном нами графике, так как значение $x=4$ удовлетворяет условию $0 < 4 < 8$.

Ответ: Точка на графике, соответствующая случаю, когда C — середина отрезка AB, имеет координаты $(4, 4)$.

1093. Периметр прямоугольника ABCD равен 12, $AB=x$, $AD=y$, $0 < x < 6$.Постройте график зависимости $y$ от $x$. Отметьте на этом графике точку, соответствующую случаю, когда прямоугольник ABCD является квадратом.

Постройте график зависимости y от x.

Периметр прямоугольника $ABCD$ вычисляется по формуле $P = 2(AB + AD)$. По условию задачи, периметр $P = 12$, а стороны $AB = x$ и $AD = y$.

Подставим известные значения в формулу периметра:
$12 = 2(x + y)$

Разделим обе части уравнения на 2:
$6 = x + y$

Теперь выразим зависимость y от x:
$y = 6 - x$

Это уравнение является линейной функцией, графиком которой служит прямая линия. Однако в условии задачи дано ограничение на значение x: $0 < x < 6$. Это означает, что область определения функции — это интервал $(0, 6)$, а ее график — это отрезок прямой, не включающий свои конечные точки.

Найдем координаты конечных точек этого отрезка:
- При $x$, стремящемся к 0, $y$ стремится к $6 - 0 = 6$. Координаты левой конечной точки: $(0, 6)$.
- При $x$, стремящемся к 6, $y$ стремится к $6 - 6 = 0$. Координаты правой конечной точки: $(6, 0)$.

Поскольку неравенство $0 < x < 6$ строгое, точки $(0, 6)$ и $(6, 0)$ не принадлежат графику. На чертеже они обозначаются как «выколотые» (пустые кружки).

Ответ: График зависимости $y$ от $x$ — это отрезок прямой, заданный уравнением $y = 6 - x$, с выколотыми концами в точках $(0, 6)$ и $(6, 0)$.

Отметьте на этом графике точку, соответствующую случаю, когда прямоугольник ABCD является квадратом.

Прямоугольник является квадратом, если его смежные стороны равны. В данном случае это означает, что $AB = AD$, то есть $x = y$.

Чтобы найти координаты точки, соответствующей этому условию, необходимо решить систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 6 - x \\ y = x \end{cases} $

Подставим $y = x$ из второго уравнения в первое:
$x = 6 - x$
$2x = 6$
$x = 3$

Поскольку $y = x$, то $y$ также равен 3. Следовательно, искомая точка имеет координаты $(3, 3)$.

Значение $x = 3$ удовлетворяет условию $0 < x < 6$, поэтому эта точка лежит на построенном нами графике. На чертеже она будет отмечена как закрашенная точка.

Описание итогового графика: На координатной плоскости Oxy изображен отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 6)$ и $(6, 0)$. Концы отрезка в этих точках обозначены пустыми кружками. На середине этого отрезка отмечена закрашенная точка с координатами $(3, 3)$, которая соответствует случаю, когда прямоугольник является квадратом.

Ответ: Точка, соответствующая случаю, когда прямоугольник $ABCD$ является квадратом, имеет координаты $(3, 3)$.