Страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1069.Постройте в одной системе координат графики функций $y=x-1$ и $y=\frac{1}{4}x+2$ и найдите координаты точки их пересечения.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: построить графики обеих функций и затем найти их точку пересечения аналитически.

1. Построение графиков функций

Обе функции, $y = x - 1$ и $y = \frac{1}{4}x + 2$, являются линейными, их графики — прямые линии. Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек.

Для функции $y = x - 1$:

Найдем две точки, принадлежащие этой прямой.

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
• Если $x = 3$, то $y = 3 - 1 = 2$. Получаем точку $(3, 2)$.

Для функции $y = \frac{1}{4}x + 2$:

Найдем две точки, принадлежащие этой прямой. Для удобства вычислений выберем значения $x$, кратные 4.

• Если $x = 0$, то $y = \frac{1}{4} \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
• Если $x = 4$, то $y = \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 = 1 + 2 = 3$. Получаем точку $(4, 3)$.

Теперь можно построить обе прямые в одной системе координат, проведя их через найденные точки.

Ответ: График функции $y = x - 1$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(3, 2)$. График функции $y = \frac{1}{4}x + 2$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(4, 3)$.

2. Нахождение координат точки их пересечения

Точка пересечения графиков — это точка, координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям. Чтобы найти ее, приравняем правые части уравнений функций:

$x - 1 = \frac{1}{4}x + 2$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$x - \frac{1}{4}x = 2 + 1$

$\frac{4}{4}x - \frac{1}{4}x = 3$

$\frac{3}{4}x = 3$

$x = 3 \cdot \frac{4}{3}$

$x = 4$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Теперь найдем ординату (координату $y$), подставив значение $x = 4$ в любое из исходных уравнений. Проще использовать первое уравнение:

$y = x - 1 = 4 - 1 = 3$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков — $(4, 3)$.

Ответ: $(4, 3)$

1070. Постройте в одной системе координат графики функций $y = 5x - 6$ и $y = -2x + 1$ и найдите координаты точки их пересечения.

Построение графиков функций

Чтобы построить в одной системе координат графики функций $y = 5x - 6$ и $y = -2x + 1$, определим для каждой из них по две точки, через которые проходят их графики (прямые).

1. Для функции $y = 5x - 6$:

- Если $x = 1$, то $y = 5 \cdot 1 - 6 = -1$. Получаем точку $(1; -1)$.

- Если $x = 2$, то $y = 5 \cdot 2 - 6 = 10 - 6 = 4$. Получаем точку $(2; 4)$.

Проведем прямую через точки $(1; -1)$ и $(2; 4)$.

2. Для функции $y = -2x + 1$:

- Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.

- Если $x = 1$, то $y = -2 \cdot 1 + 1 = -1$. Получаем точку $(1; -1)$.

Проведем прямую через точки $(0; 1)$ и $(1; -1)$.

После построения графиков на координатной плоскости мы можем визуально определить их точку пересечения.

Нахождение координат точки их пересечения

Координаты точки пересечения графиков — это общее решение для обоих уравнений. Чтобы найти их, приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения значения $y$ совпадают:

$5x - 6 = -2x + 1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$5x + 2x = 1 + 6$

$7x = 7$

$x = \frac{7}{7}$

$x = 1$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Чтобы найти ординату (координату $y$), подставим значение $x = 1$ в любое из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение:

$y = -2x + 1 = -2(1) + 1 = -2 + 1 = -1$

Таким образом, графики функций пересекаются в точке с координатами $(1; -1)$.

Ответ: $(1; -1)$.

1071.Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения

с осями координат графика функции:

1) $y = 2,5x + 10;$

2) $y = 6x - 4.$

1) Для того чтобы найти координаты точек пересечения графика функции $y = 2,5x + 10$ с осями координат, нужно рассмотреть два случая.

Пересечение с осью ординат (осью $y$):
В точке пересечения с осью $y$ координата $x$ равна нулю. Подставим $x=0$ в уравнение функции: $y = 2,5 \cdot 0 + 10 = 0 + 10 = 10$. Таким образом, точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0; 10)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью $x$):
В точке пересечения с осью $x$ координата $y$ равна нулю. Подставим $y=0$ в уравнение функции: $0 = 2,5x + 10$. Теперь решим это уравнение относительно $x$: $2,5x = -10$ $x = \frac{-10}{2,5}$ $x = -4$. Таким образом, точка пересечения с осью $x$ имеет координаты $(-4; 0)$.

Ответ: $(0; 10)$ и $(-4; 0)$.

2) Для того чтобы найти координаты точек пересечения графика функции $y = 6x - 4$ с осями координат, также рассмотрим два случая.

Пересечение с осью ординат (осью $y$):
При $x=0$ получаем: $y = 6 \cdot 0 - 4 = 0 - 4 = -4$. Координаты точки пересечения с осью $y$: $(0; -4)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью $x$):
При $y=0$ получаем уравнение: $0 = 6x - 4$. Решим его: $6x = 4$ $x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Координаты точки пересечения с осью $x$: $(\frac{2}{3}; 0)$.

Ответ: $(0; -4)$ и $(\frac{2}{3}; 0)$.

1072. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

1) $y=\frac{2}{3}x-4;$

2) $y=7-3x.$

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат, не выполняя построения, необходимо:

• Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью OY), подставить в уравнение функции значение $x = 0$ и вычислить соответствующее значение $y$. Координаты этой точки будут $(0, y)$.
• Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (осью OX), подставить в уравнение функции значение $y = 0$ и решить полученное уравнение относительно $x$. Координаты этой точки будут $(x, 0)$.

1) $y = \frac{2}{3}x - 4$

Найдем точку пересечения с осью ординат (OY). Для этого подставляем $x = 0$:

$y = \frac{2}{3} \cdot 0 - 4 = 0 - 4 = -4$

Координаты точки пересечения с осью OY: $(0, -4)$.

Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX). Для этого подставляем $y = 0$:

$0 = \frac{2}{3}x - 4$

Переносим слагаемое с $x$ в левую часть уравнения:

$\frac{2}{3}x = 4$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$:

$x = 4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Координаты точки пересечения с осью OX: $(6, 0)$.

Ответ: с осью OY: $(0, -4)$; с осью OX: $(6, 0)$.

2) $y = 7 - 3x$

Найдем точку пересечения с осью ординат (OY). Для этого подставляем $x = 0$:

$y = 7 - 3 \cdot 0 = 7 - 0 = 7$

Координаты точки пересечения с осью OY: $(0, 7)$.

Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX). Для этого подставляем $y = 0$:

$0 = 7 - 3x$

Переносим слагаемое с $x$ в левую часть уравнения:

$3x = 7$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{7}{3}$

Координаты точки пересечения с осью OX: $(\frac{7}{3}, 0)$.

Ответ: с осью OY: $(0, 7)$; с осью OX: $(\frac{7}{3}, 0)$.

1073. Не выполняя построения графика функции $y = 2x - 9$, найдите точку этого графика, у которой:

1) абсцисса равна ординате;

2) ордината на 6 больше абсциссы.

Для нахождения точки на графике функции $y = 2x - 9$ необходимо найти ее координаты $(x; y)$, которые удовлетворяют как уравнению функции, так и заданному условию.

1) абсцисса равна ординате;

Абсцисса точки – это ее координата $x$, а ордината – координата $y$. Условие "абсцисса равна ординате" означает, что $x = y$.
Для нахождения координат точки необходимо решить систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x - 9 \\ y = x \end{cases} $
Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:
$x = 2x - 9$
Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$9 = 2x - x$
$x = 9$
Так как $y = x$, то $y$ также равен 9.
Искомая точка имеет координаты $(9; 9)$.
Проверим, подставив значения в исходное уравнение функции: $9 = 2 \cdot 9 - 9$, что равно $9 = 18 - 9$, или $9 = 9$. Равенство верное.
Ответ: $(9; 9)$.

2) ордината на 6 больше абсциссы.

Условие "ордината на 6 больше абсциссы" можно записать в виде уравнения $y = x + 6$.
Снова составим и решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x - 9 \\ y = x + 6 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$2x - 9 = x + 6$
Решим полученное уравнение:
$2x - x = 6 + 9$
$x = 15$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 15$ в любое из уравнений системы. Удобнее использовать второе:
$y = 15 + 6 = 21$
Искомая точка имеет координаты $(15; 21)$.
Проверим, подставив значения в исходное уравнение функции: $21 = 2 \cdot 15 - 9$, что равно $21 = 30 - 9$, или $21 = 21$. Равенство верное.
Ответ: $(15; 21)$.

1074. Не выполняя построения графика функции $y = -7x + 8$, найдите точку этого графика, у которой абсцисса и ордината – противоположные числа.

Дана функция $y = -7x + 8$. Нам нужно найти точку, принадлежащую графику этой функции, у которой абсцисса ($x$) и ордината ($y$) являются противоположными числами.

Условие, что абсцисса и ордината являются противоположными числами, можно записать в виде равенства: $y = -x$.

Поскольку искомая точка должна удовлетворять обоим условиям (принадлежать графику и иметь противоположные координаты), мы можем составить систему уравнений:
$ \begin{cases} y = -7x + 8 \\ y = -x \end{cases} $

Для решения этой системы подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$-x = -7x + 8$

Решим полученное уравнение. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а числовые значения оставим в правой:
$-x + 7x = 8$
$6x = 8$

Теперь найдем значение $x$:
$x = \frac{8}{6}$
Сократим дробь:
$x = \frac{4}{3}$

Мы нашли абсциссу точки. Теперь найдем соответствующую ей ординату, используя самое простое из наших уравнений, $y = -x$:
$y = -\frac{4}{3}$

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(\frac{4}{3}; -\frac{4}{3})$.

Ответ: $(\frac{4}{3}; -\frac{4}{3})$.

1075. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций:

1) $y = 3.7x + 10$ и $y = 1.4x - 13;$

2) $y = 4 - \frac{2}{7}x$ и $y = \frac{9}{7}x + 26.$

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух функций, не выполняя построения, нужно приравнять правые части уравнений этих функций. Это основано на том, что в точке пересечения координаты $x$ и $y$ у обоих графиков совпадают. Решив полученное уравнение, мы найдем абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Затем, подставив найденное значение $x$ в уравнение любой из функций, мы найдем ординату (координату $y$) этой точки.

1) $y=3,7x+10$ и $y=1,4x-13$

Приравняем выражения для $y$:

$3,7x+10 = 1,4x-13$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$3,7x - 1,4x = -13 - 10$

Выполним вычисления:

$2,3x = -23$

Найдем $x$:

$x = \frac{-23}{2,3}$

$x = -10$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем первое уравнение:

$y = 3,7 \cdot (-10) + 10$

$y = -37 + 10$

$y = -27$

Координаты точки пересечения: $(-10; -27)$.

Ответ: $(-10; -27)$.

2) $y=4-\frac{2}{7}x$ и $y=\frac{9}{7}x+26$

Приравняем выражения для $y$:

$4 - \frac{2}{7}x = \frac{9}{7}x + 26$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$4 - 26 = \frac{9}{7}x + \frac{2}{7}x$

Выполним вычисления:

$-22 = \left(\frac{9}{7} + \frac{2}{7}\right)x$

$-22 = \frac{11}{7}x$

Найдем $x$, для этого умножим обе части уравнения на дробь, обратную $\frac{11}{7}$, то есть на $\frac{7}{11}$:

$x = -22 \cdot \frac{7}{11}$

$x = \frac{-22 \cdot 7}{11}$

$x = -2 \cdot 7$

$x = -14$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:

$y = 4 - \frac{2}{7} \cdot (-14)$

$y = 4 - \frac{2 \cdot (-14)}{7}$

$y = 4 - 2 \cdot (-2)$

$y = 4 + 4$

$y = 8$

Координаты точки пересечения: $(-14; 8)$.

Ответ: $(-14; 8)$.

1076. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций $y = 4x - 7$ и $y = -2x + 11$.

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух функций, необходимо решить систему уравнений, состоящую из этих функций. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают. Это значит, что мы можем приравнять правые части данных уравнений.

Даны функции: $y = 4x - 7$ и $y = -2x + 11$.

Приравняем выражения для $y$:

$4x - 7 = -2x + 11$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые — в правую.

$4x + 2x = 11 + 7$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$6x = 18$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 6:

$x = \frac{18}{6}$

$x = 3$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Для того чтобы найти ординату (координату $y$), подставим найденное значение $x=3$ в любое из исходных уравнений.

Подставим в первое уравнение: $y = 4x - 7$:

$y = 4 \cdot 3 - 7 = 12 - 7 = 5$

Для проверки можно подставить $x=3$ и во второе уравнение: $y = -2x + 11$:

$y = -2 \cdot 3 + 11 = -6 + 11 = 5$

Так как значения $y$ совпали, вычисления верны. Таким образом, координаты точки пересечения графиков функций равны $(3; 5)$.

Ответ: $(3; 5)$.

1077.При каком значении переменной $x$ функции $f(x) = 4x - 3$ и $g(x) = 3x - 2$ принимают равные значения? Постройте на одной координатной плоскости графики функций $f$ и $g$. Определите, при каких значениях $x$:

1) $f(x) > g(x)$;

2) $f(x) < g(x)$.

Сначала найдем значение переменной $x$, при котором функции $f(x) = 4x - 3$ и $g(x) = 3x - 2$ принимают равные значения. Для этого необходимо решить уравнение $f(x) = g(x)$.

$4x - 3 = 3x - 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$4x - 3x = 3 - 2$
$x = 1$

Ответ: Функции принимают равные значения при $x = 1$.

Далее, построим графики функций $f(x)$ и $g(x)$ на одной координатной плоскости. Обе функции являются линейными, поэтому их графики — это прямые линии. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

Для графика функции $f(x) = 4x - 3$ найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y = 4(0) - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
• Мы уже нашли точку пересечения: при $x=1$, $y = 4(1) - 3 = 1$. Получаем точку $(1, 1)$.

Для графика функции $g(x) = 3x - 2$ найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y = 3(0) - 2 = -2$. Получаем точку $(0, -2)$.
• Используем уже известную точку пересечения $(1, 1)$.

Нанеся эти точки на координатную плоскость и соединив их соответствующими прямыми, мы получим графики функций, которые пересекаются в точке $(1, 1)$.

Теперь, используя графики и аналитические вычисления, определим, при каких значениях $x$ выполняются неравенства.

1) f(x) > g(x);
Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен выше графика функции $g(x)$. Решим неравенство аналитически:

$4x - 3 > 3x - 2$
$4x - 3x > -2 + 3$
$x > 1$

Графически это соответствует области, где прямая $f(x)$ находится выше прямой $g(x)$, что происходит справа от точки их пересечения ($x=1$).

Ответ: $x > 1$.

2) f(x) < g(x).
Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен ниже графика функции $g(x)$. Решим неравенство аналитически:

$4x - 3 < 3x - 2$
$4x - 3x < -2 + 3$
$x < 1$

Графически это соответствует области, где прямая $f(x)$ находится ниже прямой $g(x)$, что происходит слева от точки их пересечения ($x=1$).

Ответ: $x < 1$.

1078. При каком значении независимой переменной функции $f(x) = 5 - 2x$ и $g(x) = 2x - 3$ принимают равные значения? Построив на одной координатной плоскости графики данных функций, установите, при каких значениях $x$:

1) $f(x) < g(x)$;

2) $f(x) > g(x)$.

Сначала найдем значение независимой переменной $x$, при котором функции $f(x) = 5 - 2x$ и $g(x) = 2x - 3$ принимают равные значения. Для этого необходимо решить уравнение $f(x) = g(x)$.

$5 - 2x = 2x - 3$

Перенесем члены, содержащие $x$, в правую часть уравнения, а свободные члены — в левую:

$5 + 3 = 2x + 2x$

$8 = 4x$

$x = \frac{8}{4}$

$x = 2$

Ответ: Функции принимают равные значения при $x=2$.

Теперь построим графики данных функций на одной координатной плоскости. Обе функции, $f(x) = 5 - 2x$ и $g(x) = 2x - 3$, являются линейными, поэтому их графики — прямые линии. Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек.

Для графика функции $f(x) = 5 - 2x$:

1. Мы уже нашли точку пересечения, где $x=2$. Найдем соответствующее значение $y$:
$f(2) = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.

2. Возьмем другое значение, например, $x=0$:
$f(0) = 5 - 2 \cdot 0 = 5$. Получаем точку $(0; 5)$.

Для графика функции $g(x) = 2x - 3$:

1. Используем общую точку $(2; 1)$.

2. Возьмем другое значение, например, $x=0$:
$g(0) = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0; -3)$.

Построив прямые через эти пары точек, мы получим графики функций. График $f(x)$ — убывающая прямая, пересекающая оси в точках $(2.5; 0)$ и $(0; 5)$. График $g(x)$ — возрастающая прямая, пересекающая оси в точках $(1.5; 0)$ и $(0; -3)$. Прямые пересекаются в точке $(2; 1)$.

На основании построенных графиков установим, при каких значениях $x$ выполняются неравенства.

1) $f(x) < g(x)$

Неравенство $f(x) < g(x)$ означает, что график функции $f(x)$ должен быть расположен ниже графика функции $g(x)$. Глядя на чертеж, мы видим, что это происходит для всех значений $x$, которые находятся правее точки пересечения графиков. Абсцисса точки пересечения равна $2$. Следовательно, неравенство выполняется при $x > 2$.

Ответ: $f(x) < g(x)$ при $x \in (2; +\infty)$.

2) $f(x) > g(x)$

Неравенство $f(x) > g(x)$ означает, что график функции $f(x)$ должен быть расположен выше графика функции $g(x)$. Глядя на чертеж, мы видим, что это происходит для всех значений $x$, которые находятся левее точки пересечения графиков. Абсцисса точки пересечения равна $2$. Следовательно, неравенство выполняется при $x < 2$.

Ответ: $f(x) > g(x)$ при $x \in (-\infty; 2)$.

1079. Задайте формулой функцию, являющуюся прямой пропорциональностью, если её график проходит через точку $M (2; -5)$.

Функция, являющаяся прямой пропорциональностью, имеет общий вид $y = kx$, где $k$ — это коэффициент пропорциональности, который является постоянным числом (константой).

Чтобы найти формулу для конкретной функции, нам необходимо определить значение этого коэффициента $k$.

По условию задачи, график функции проходит через точку $M$ с координатами $(2; -5)$. Это значит, что когда значение аргумента $x$ равно 2, значение функции $y$ равно -5. Мы можем подставить эти значения в общую формулу прямой пропорциональности:

$-5 = k \cdot 2$

Теперь из этого уравнения мы можем найти значение $k$:

$k = \frac{-5}{2}$

$k = -2,5$

Мы нашли коэффициент пропорциональности. Теперь подставим его обратно в общую формулу $y = kx$, чтобы получить искомую формулу функции.

$y = -2,5x$

Ответ: $y = -2,5x$