Номер 1078, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Линейная функция, её график и свойства. Глава 2. Функции - номер 1078, страница 201.

Условие.

1078. При каком значении независимой переменной функции $f(x) = 5 - 2x$ и $g(x) = 2x - 3$ принимают равные значения? Построив на одной координатной плоскости графики данных функций, установите, при каких значениях $x$:

1) $f(x) < g(x)$;

2) $f(x) > g(x)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Сначала найдем значение независимой переменной $x$, при котором функции $f(x) = 5 - 2x$ и $g(x) = 2x - 3$ принимают равные значения. Для этого необходимо решить уравнение $f(x) = g(x)$.

$5 - 2x = 2x - 3$

Перенесем члены, содержащие $x$, в правую часть уравнения, а свободные члены — в левую:

$5 + 3 = 2x + 2x$

$8 = 4x$

$x = \frac{8}{4}$

$x = 2$

Ответ: Функции принимают равные значения при $x=2$.

---

Теперь построим графики данных функций на одной координатной плоскости. Обе функции, $f(x) = 5 - 2x$ и $g(x) = 2x - 3$, являются линейными, поэтому их графики — прямые линии. Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек.

Для графика функции $f(x) = 5 - 2x$:

1. Мы уже нашли точку пересечения, где $x=2$. Найдем соответствующее значение $y$:
$f(2) = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.

2. Возьмем другое значение, например, $x=0$:
$f(0) = 5 - 2 \cdot 0 = 5$. Получаем точку $(0; 5)$.

Для графика функции $g(x) = 2x - 3$:

1. Используем общую точку $(2; 1)$.

2. Возьмем другое значение, например, $x=0$:
$g(0) = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0; -3)$.

Построив прямые через эти пары точек, мы получим графики функций. График $f(x)$ — убывающая прямая, пересекающая оси в точках $(2.5; 0)$ и $(0; 5)$. График $g(x)$ — возрастающая прямая, пересекающая оси в точках $(1.5; 0)$ и $(0; -3)$. Прямые пересекаются в точке $(2; 1)$.

На основании построенных графиков установим, при каких значениях $x$ выполняются неравенства.

1) $f(x) < g(x)$

Неравенство $f(x) < g(x)$ означает, что график функции $f(x)$ должен быть расположен ниже графика функции $g(x)$. Глядя на чертеж, мы видим, что это происходит для всех значений $x$, которые находятся правее точки пересечения графиков. Абсцисса точки пересечения равна $2$. Следовательно, неравенство выполняется при $x > 2$.

Ответ: $f(x) < g(x)$ при $x \in (2; +\infty)$.

2) $f(x) > g(x)$

Неравенство $f(x) > g(x)$ означает, что график функции $f(x)$ должен быть расположен выше графика функции $g(x)$. Глядя на чертеж, мы видим, что это происходит для всех значений $x$, которые находятся левее точки пересечения графиков. Абсцисса точки пересечения равна $2$. Следовательно, неравенство выполняется при $x < 2$.

Ответ: $f(x) > g(x)$ при $x \in (-\infty; 2)$.