Номер 1077, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Линейная функция, её график и свойства. Глава 2. Функции - номер 1077, страница 201.

Условие.

1077.При каком значении переменной $x$ функции $f(x) = 4x - 3$ и $g(x) = 3x - 2$ принимают равные значения? Постройте на одной координатной плоскости графики функций $f$ и $g$. Определите, при каких значениях $x$:

1) $f(x) > g(x)$;

2) $f(x) < g(x)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Сначала найдем значение переменной $x$, при котором функции $f(x) = 4x - 3$ и $g(x) = 3x - 2$ принимают равные значения. Для этого необходимо решить уравнение $f(x) = g(x)$.

$4x - 3 = 3x - 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$4x - 3x = 3 - 2$
$x = 1$

Ответ: Функции принимают равные значения при $x = 1$.

Далее, построим графики функций $f(x)$ и $g(x)$ на одной координатной плоскости. Обе функции являются линейными, поэтому их графики — это прямые линии. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

Для графика функции $f(x) = 4x - 3$ найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y = 4(0) - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
• Мы уже нашли точку пересечения: при $x=1$, $y = 4(1) - 3 = 1$. Получаем точку $(1, 1)$.

Для графика функции $g(x) = 3x - 2$ найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y = 3(0) - 2 = -2$. Получаем точку $(0, -2)$.
• Используем уже известную точку пересечения $(1, 1)$.

Нанеся эти точки на координатную плоскость и соединив их соответствующими прямыми, мы получим графики функций, которые пересекаются в точке $(1, 1)$.

Теперь, используя графики и аналитические вычисления, определим, при каких значениях $x$ выполняются неравенства.

1) f(x) > g(x);
Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен выше графика функции $g(x)$. Решим неравенство аналитически:

$4x - 3 > 3x - 2$
$4x - 3x > -2 + 3$
$x > 1$

Графически это соответствует области, где прямая $f(x)$ находится выше прямой $g(x)$, что происходит справа от точки их пересечения ($x=1$).

Ответ: $x > 1$.

2) f(x) < g(x).
Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен ниже графика функции $g(x)$. Решим неравенство аналитически:

$4x - 3 < 3x - 2$
$4x - 3x < -2 + 3$
$x < 1$

Графически это соответствует области, где прямая $f(x)$ находится ниже прямой $g(x)$, что происходит слева от точки их пересечения ($x=1$).

Ответ: $x < 1$.