Номер 1069, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Линейная функция, её график и свойства. Глава 2. Функции - номер 1069, страница 201.

Условие.

1069.Постройте в одной системе координат графики функций $y=x-1$ и $y=\frac{1}{4}x+2$ и найдите координаты точки их пересечения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: построить графики обеих функций и затем найти их точку пересечения аналитически.

1. Построение графиков функций

Обе функции, $y = x - 1$ и $y = \frac{1}{4}x + 2$, являются линейными, их графики — прямые линии. Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек.

Для функции $y = x - 1$:

Найдем две точки, принадлежащие этой прямой.

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
• Если $x = 3$, то $y = 3 - 1 = 2$. Получаем точку $(3, 2)$.

Для функции $y = \frac{1}{4}x + 2$:

Найдем две точки, принадлежащие этой прямой. Для удобства вычислений выберем значения $x$, кратные 4.

• Если $x = 0$, то $y = \frac{1}{4} \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
• Если $x = 4$, то $y = \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 = 1 + 2 = 3$. Получаем точку $(4, 3)$.

Теперь можно построить обе прямые в одной системе координат, проведя их через найденные точки.

Ответ: График функции $y = x - 1$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(3, 2)$. График функции $y = \frac{1}{4}x + 2$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(4, 3)$.

2. Нахождение координат точки их пересечения

Точка пересечения графиков — это точка, координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям. Чтобы найти ее, приравняем правые части уравнений функций:

$x - 1 = \frac{1}{4}x + 2$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$x - \frac{1}{4}x = 2 + 1$

$\frac{4}{4}x - \frac{1}{4}x = 3$

$\frac{3}{4}x = 3$

$x = 3 \cdot \frac{4}{3}$

$x = 4$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Теперь найдем ординату (координату $y$), подставив значение $x = 4$ в любое из исходных уравнений. Проще использовать первое уравнение:

$y = x - 1 = 4 - 1 = 3$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков — $(4, 3)$.

Ответ: $(4, 3)$