Страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую функцию называют линейной?

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые заданные числа (коэффициенты).

Число $k$ называется угловым коэффициентом. Он определяет угол наклона графика функции к положительному направлению оси абсцисс ($Ox$). Если $k > 0$, функция является возрастающей; если $k < 0$ — убывающей. Величина коэффициента $k$ показывает, на сколько единиц изменяется $y$ при изменении $x$ на одну единицу.

Число $b$ называется свободным членом. Оно показывает ординату точки, в которой график функции пересекает ось ординат ($Oy$). Координаты этой точки пересечения — $(0; b)$.

Графиком любой линейной функции является прямая линия.

Важными частными случаями линейной функции являются:

• Прямая пропорциональность. Если $b = 0$ (и $k \neq 0$), то функция принимает вид $y = kx$. Графиком такой функции является прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$.
• Постоянная функция. Если $k = 0$, то функция принимает вид $y = b$. Графиком такой функции является прямая, параллельная оси абсцисс $Ox$ и проходящая через точку $(0; b)$.

Ответ: Линейной функцией называется функция вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Графиком линейной функции является прямая линия.

2. Что является графиком линейной функции?

2. Что является графиком линейной функции?

Графиком линейной функции, которая задается уравнением вида $y = kx + b$, является прямая линия. В этом уравнении $x$ — это независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — числовые коэффициенты, определяющие положение и наклон этой прямой на координатной плоскости.

Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и отвечает за наклон прямой. Если $k > 0$, функция является возрастающей, и ее график "идет вверх" при движении слева направо. Если $k < 0$, функция является убывающей, и ее график "идет вниз". В частном случае, когда $k = 0$, уравнение принимает вид $y = b$, а его график — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox).

Коэффициент $b$, или свободный член, определяет точку, в которой прямая пересекает ось ординат (ось Oy). Координаты этой точки пересечения всегда $(0, b)$. Если $b=0$, то функция $y=kx$ называется прямой пропорциональностью, и ее график обязательно проходит через начало координат $(0,0)$.

Таким образом, для построения графика любой линейной функции достаточно найти координаты двух любых точек, удовлетворяющих ее уравнению, и соединить их прямой линией.

Ответ: Графиком линейной функции является прямая линия.

3. Какую функцию называют прямой пропорциональностью?

Прямой пропорциональностью называют функциональную зависимость, при которой одна переменная ($y$) изменяется прямо пропорционально другой переменной ($x$). Эта зависимость выражается формулой:

$y = kx$

В данной формуле:

• $y$ — зависимая переменная, или значение функции.
• $x$ — независимая переменная, или аргумент.
• $k$ — постоянное число, не равное нулю ($k \neq 0$), которое называют коэффициентом пропорциональности.

Основное свойство прямой пропорциональности заключается в том, что отношение зависимой переменной к независимой является постоянной величиной, равной коэффициенту $k$:

$\frac{y}{x} = k$ (при $x \neq 0$)

Это означает, что во сколько раз увеличивается (или уменьшается) аргумент $x$, во столько же раз увеличивается (или уменьшается) и значение функции $y$.

Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, проходящая через начало координат (точку $(0,0)$). Положение этой прямой зависит от знака коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, то график функции расположен в I и III координатных четвертях. Функция в этом случае является возрастающей.
• Если $k < 0$, то график функции расположен во II и IV координатных четвертях. Функция в этом случае является убывающей.

Пример: Зависимость стоимости покупки ($y$) от количества купленного товара ($x$) при постоянной цене за единицу товара ($k$). Если цена одного карандаша — 10 рублей, то стоимость $x$ карандашей будет равна $y = 10x$. Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=10$.

Ответ: Прямой пропорциональностью называют функцию вида $y = kx$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ — отличное от нуля число (коэффициент пропорциональности).

4. Что является графиком прямой пропорциональности?

Прямой пропорциональностью называется функциональная зависимость, при которой одна переменная ($y$) изменяется пропорционально другой переменной ($x$). Эта зависимость выражается формулой:

$y = kx$

где:

• $x$ — независимая переменная (аргумент);
• $y$ — зависимая переменная (функция);
• $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности, не равный нулю ($k \neq 0$).

Чтобы определить, что является графиком этой функции, проанализируем её уравнение. Уравнение $y = kx$ является частным случаем общего уравнения линейной функции $y = mx + b$, где $m$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью ординат (осью $y$).

В нашем случае $m = k$ и $b = 0$.

1. Поскольку это линейная функция, её графиком является прямая линия.

2. Поскольку свободный член $b$ равен нулю, это означает, что линия обязательно проходит через начало координат — точку $(0, 0)$. Мы можем легко проверить это, подставив $x=0$ в формулу: $y = k \cdot 0 = 0$.

Таким образом, при любом значении коэффициента $k$ (кроме нуля) график функции $y = kx$ будет представлять собой прямую линию, проходящую через начало координат.

Ответ: Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, проходящая через начало координат.

5. Что является графиком функции $y = b$?

Функция, заданная уравнением $y = b$, где $b$ — некоторое постоянное число (константа), называется постоянной функцией. Это частный случай линейной функции $y = kx + b$, в котором угловой коэффициент $k$ равен нулю.

График функции представляет собой множество всех точек на координатной плоскости, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют уравнению функции. В случае функции $y = b$ это означает, что для абсолютно любого значения абсциссы $x$, значение ординаты $y$ всегда будет одним и тем же числом — $b$.

Например, точки с координатами $(-3, b)$, $(0, b)$, $(2, b)$, $(10, b)$ и любые другие точки, у которых ордината равна $b$, принадлежат графику этой функции. Если мы отметим все такие точки на координатной плоскости, они образуют прямую линию.

Эта прямая линия всегда будет параллельна оси абсцисс (оси Ox), поскольку все ее точки имеют одинаковую ординату (то есть находятся на одной и той же "высоте" относительно оси Ox). Эта прямая пересекает ось ординат (ось Oy) в точке с координатами $(0, b)$.

Рассмотрим возможные случаи расположения этой прямой:
- Если $b > 0$, прямая находится в I и II координатных четвертях, выше оси Ox.
- Если $b < 0$, прямая находится в III и IV координатных четвертях, ниже оси Ox.
- Если $b = 0$, уравнение принимает вид $y = 0$, и его графиком является сама ось абсцисс (ось Ox).

Ответ: Графиком функции $y = b$ является прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, b)$ на оси ординат.

6. Графиком какой функции является ось абсцисс?

6.

Ось абсцисс, также известная как ось $Ox$, представляет собой горизонтальную прямую в декартовой системе координат. Главной характеристикой всех точек, лежащих на оси абсцисс, является то, что их ордината, то есть координата $y$, всегда равна нулю. Таким образом, любая точка на оси абсцисс может быть представлена координатами $(x, 0)$, где $x$ — любое действительное число.

График функции — это визуальное представление множества всех точек с координатами $(x, y)$, где $y$ зависит от $x$ согласно правилу $y = f(x)$. Мы ищем функцию, график которой совпадает с осью абсцисс.

Для того чтобы график функции полностью лежал на оси абсцисс, необходимо, чтобы для каждого возможного значения аргумента $x$ соответствующее значение функции $y$ было равно нулю. Это требование можно выразить следующим уравнением:

$y = 0$

Это уравнение задаёт постоянную (константную) функцию. Для любого входного значения $x$, выходное значение $y$ всегда будет 0. Например, если $x=-2$, то $y=0$; если $x=5$, то $y=0$. Совокупность всех таких точек $(x, 0)$ и образует ось абсцисс.

Отметим также, что функция $y=0$ является частным случаем линейной функции $y = kx + b$, при котором угловой коэффициент $k=0$ и смещение $b=0$.

Ответ: $y = 0$.

7. Существует ли функция, графиком которой является ось ординат?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо обратиться к определению функции. Функция — это такое правило или закон, по которому каждому элементу $x$ из одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие один и только один элемент $y$ из другого множества (называемого областью значений).

Графиком функции в декартовой системе координат является множество всех точек, абсциссы которых являются значениями аргумента ($x$), а ординаты — соответствующими значениями функции ($y$).

Рассмотрим предполагаемый график — ось ординат. Ось ординат представляет собой вертикальную прямую, заданную уравнением $x=0$. Все точки, лежащие на этой оси, имеют координату $x$, равную нулю. Например, это точки $(0, -2)$, $(0, 0)$, $(0, 1)$, $(0, 5)$ и так далее.

Если бы ось ординат была графиком некоторой функции $f(x)$, то это означало бы, что одному значению аргумента, а именно $x=0$, соответствует бесконечное множество значений функции $y$ (любое действительное число). Это прямо противоречит фундаментальному определению функции, которое требует единственности значения $y$ для каждого значения $x$.

Существует простое графическое правило для проверки, является ли кривая графиком функции — тест вертикальной линии. Если можно провести хотя бы одну вертикальную линию, которая пересекает график более чем в одной точке, то этот график не является графиком функции. В случае с осью ординат, вертикальная линия $x=0$ совпадает с самой осью и пересекает ее в бесконечном множестве точек.

Следовательно, не существует функции, графиком которой была бы ось ординат.

Ответ: Нет, такой функции не существует, так как это противоречит определению функции.

1047.Является ли линейной функцией, заданная формулой:

1) $y = 3x - 2;$

2) $y = 8 - 7x;$

3) $y = \frac{x}{3} + 2;$

4) $y = \frac{3}{x} + 2;$

5) $y = 2x^2 + 4;$

6) $y = \frac{12x - 8}{4};$

7) $y = \frac{x}{5};$

8) $y = -4;$

9) $y = 0?$;

В случае утвердительного ответа укажите значения коэффициентов $k$ и $b$.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Чтобы определить, является ли заданная формула линейной функцией, необходимо проверить, можно ли ее привести к указанному виду.

1) $y = 3x - 2$

Данная функция уже представлена в стандартном виде $y = kx + b$.
Сравнивая с общей формулой, находим коэффициенты: $k = 3$, $b = -2$.
Ответ: Да, является. $k = 3$, $b = -2$.

2) $y = 8 - 7x$

Переставим слагаемые, чтобы привести функцию к стандартному виду: $y = -7x + 8$.
Сравнивая с общей формулой $y = kx + b$, находим коэффициенты: $k = -7$, $b = 8$.
Ответ: Да, является. $k = -7$, $b = 8$.

3) $y = \frac{x}{3} + 2$

Запишем дробь $\frac{x}{3}$ в виде произведения коэффициента и переменной: $y = \frac{1}{3}x + 2$.
Функция представлена в виде $y = kx + b$. Коэффициенты: $k = \frac{1}{3}$, $b = 2$.
Ответ: Да, является. $k = \frac{1}{3}$, $b = 2$.

4) $y = \frac{3}{x} + 2$

В этой формуле переменная $x$ находится в знаменателе. Это соответствует функции вида $y = 3x^{-1} + 2$.
Такая функция не является линейной, так как для линейной функции переменная $x$ должна быть в первой степени. Это функция обратной пропорциональности.
Ответ: Нет, не является.

5) $y = 2x^2 + 4$

В данной формуле переменная $x$ возведена во вторую степень ($x^2$).
Это определяет квадратичную функцию, а не линейную.
Ответ: Нет, не является.

6) $y = \frac{12x - 8}{4}$

Упростим выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель:
$y = \frac{12x}{4} - \frac{8}{4}$
$y = 3x - 2$
Получили функцию в стандартном виде $y = kx + b$. Коэффициенты: $k = 3$, $b = -2$.
Ответ: Да, является. $k = 3$, $b = -2$.

7) $y = \frac{x}{5}$

Представим функцию в стандартном виде: $y = \frac{1}{5}x + 0$.
Это линейная функция вида $y = kx + b$. Коэффициенты: $k = \frac{1}{5}$, $b = 0$.
Ответ: Да, является. $k = \frac{1}{5}$, $b = 0$.

8) $y = -4$

Эту функцию можно представить в стандартном виде, если учесть, что коэффициент при $x$ равен нулю: $y = 0 \cdot x - 4$.
Это линейная функция вида $y = kx + b$. Коэффициенты: $k = 0$, $b = -4$.
Ответ: Да, является. $k = 0$, $b = -4$.

9) $y = 0$

Эту функцию можно представить в стандартном виде: $y = 0 \cdot x + 0$.
Это линейная функция вида $y = kx + b$. Коэффициенты: $k = 0$, $b = 0$.
Ответ: Да, является. $k = 0$, $b = 0$.

1048.Является ли прямой пропорциональностью функция, заданная формулой:

1) $y = 4x$,

2) $y = \frac{4}{x}$;

3) $y = \frac{x}{4}$;

4) $y = 0$;

5) $y = -4x$,

6) $y = -\frac{x}{4}$?

В случае утвердительного ответа укажите значение коэффициента $k$.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности, не равный нулю ($k \neq 0$). Для такой функции отношение $\frac{y}{x}$ всегда постоянно и равно $k$. Проверим, соответствуют ли данные функции этому определению.

1) $y = 4x$
Эта функция полностью соответствует виду $y = kx$. Коэффициент пропорциональности $k$ равен 4. Так как $k \neq 0$, это прямая пропорциональность.
Ответ: Да, является. Коэффициент $k = 4$.

2) $y = \frac{4}{x}$
Здесь переменная $x$ находится в знаменателе. Эта зависимость называется обратной пропорциональностью и описывается формулой $y = \frac{k}{x}$. Она не является прямой пропорциональностью.
Ответ: Нет, не является.

3) $y = \frac{x}{4}$
Функцию можно записать в стандартном виде: $y = \frac{1}{4}x$. Это соответствует формуле $y=kx$ с коэффициентом $k = \frac{1}{4}$. Так как $k \neq 0$, это прямая пропорциональность.
Ответ: Да, является. Коэффициент $k = \frac{1}{4}$.

4) $y = 0$
Эту функцию можно представить как $y = 0 \cdot x$. Здесь коэффициент $k=0$. По определению, в прямой пропорциональности коэффициент $k$ должен быть отличен от нуля. При $k=0$ нарушается свойство пропорционального изменения переменных (например, при увеличении $x$ вдвое, $y$ не увеличивается вдвое, а остается равным нулю).
Ответ: Нет, не является.

5) $y = -4x$
Эта функция соответствует виду $y = kx$ с коэффициентом $k = -4$. Так как $k \neq 0$, это прямая пропорциональность.
Ответ: Да, является. Коэффициент $k = -4$.

6) $y = -\frac{x}{4}$
Функцию можно представить в виде $y = -\frac{1}{4}x$. Это соответствует формуле $y=kx$ с коэффициентом $k = -\frac{1}{4}$. Так как $k \neq 0$, это прямая пропорциональность.
Ответ: Да, является. Коэффициент $k = -\frac{1}{4}$.

1049. Линейная функция задана формулой $y = 6x - 5$. Заполните таблицу.

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения аргумента x найти соответствующее значение функции y. Для этого мы подставим значения x из верхней строки таблицы в формулу линейной функции $y = 6x - 5$.

При x = -3

Подставляем $x = -3$ в заданную формулу:

$y = 6 \cdot (-3) - 5 = -18 - 5 = -23$

Ответ: -23

При x = -2

Подставляем $x = -2$ в заданную формулу:

$y = 6 \cdot (-2) - 5 = -12 - 5 = -17$

Ответ: -17

При x = -1

Подставляем $x = -1$ в заданную формулу:

$y = 6 \cdot (-1) - 5 = -6 - 5 = -11$

Ответ: -11

При x = 0

Подставляем $x = 0$ в заданную формулу:

$y = 6 \cdot 0 - 5 = 0 - 5 = -5$

Ответ: -5

При x = 1

Подставляем $x = 1$ в заданную формулу:

$y = 6 \cdot 1 - 5 = 6 - 5 = 1$

Ответ: 1

При x = 2

Подставляем $x = 2$ в заданную формулу:

$y = 6 \cdot 2 - 5 = 12 - 5 = 7$

Ответ: 7

При x = 3

Подставляем $x = 3$ в заданную формулу:

$y = 6 \cdot 3 - 5 = 18 - 5 = 13$

Ответ: 13

Внесем полученные результаты в таблицу.

1050. Функция задана формулой $y = -2x + 5$. Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: $-4; 3,5; 0;$

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: $9; -5; 0.$

Дана функция, заданная формулой $y = -2x + 5$. Аргументом функции является переменная $x$, а значением функции — переменная $y$.

1) значение функции, если значение аргумента равно: -4; 3,5; 0

Чтобы найти значение функции ($y$), необходимо подставить заданные значения аргумента ($x$) в формулу функции.

• Если $x = -4$, то $y = -2 \cdot (-4) + 5 = 8 + 5 = 13$.

• Если $x = 3,5$, то $y = -2 \cdot 3,5 + 5 = -7 + 5 = -2$.

• Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 + 5 = 0 + 5 = 5$.

Ответ: при $x = -4$ значение функции равно 13; при $x = 3,5$ значение функции равно -2; при $x = 0$ значение функции равно 5.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 9; -5; 0

Чтобы найти значение аргумента ($x$), при котором функция принимает определенное значение ($y$), необходимо подставить это значение в формулу и решить получившееся уравнение относительно $x$.

• Если $y = 9$, то получаем уравнение $9 = -2x + 5$.
  Перенесем слагаемые: $2x = 5 - 9$.
  $2x = -4$.
  $x = \frac{-4}{2} = -2$.

• Если $y = -5$, то получаем уравнение $-5 = -2x + 5$.
  Перенесем слагаемые: $2x = 5 - (-5)$.
  $2x = 10$.
  $x = \frac{10}{2} = 5$.

• Если $y = 0$, то получаем уравнение $0 = -2x + 5$.
  Перенесем слагаемые: $2x = 5$.
  $x = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: значение функции равно 9 при $x = -2$; значение функции равно -5 при $x = 5$; значение функции равно 0 при $x = 2,5$.

1051. Функция задана формулой $y = 0.4x + 3$. Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо использовать заданную формулу функции $y = 0,4x + 3$. Для каждой пустой ячейки мы либо вычисляем значение $y$, подставляя известное значение $x$, либо находим значение $x$, решая уравнение для известного значения $y$.

Расчет для x = -2

Подставляем значение $x = -2$ в формулу функции, чтобы найти соответствующее значение $y$:

$y = 0,4 \cdot (-2) + 3$

$y = -0,8 + 3$

$y = 2,2$

Ответ: 2,2

Расчет для y = -2

Подставляем значение $y = -2$ в формулу и решаем уравнение относительно $x$:

$-2 = 0,4x + 3$

Вычитаем 3 из обеих частей уравнения:

$-2 - 3 = 0,4x$

$-5 = 0,4x$

Делим обе части на 0,4:

$x = \frac{-5}{0,4} = -12,5$

Ответ: -12,5

Расчет для x = 0

Подставляем значение $x = 0$ в формулу:

$y = 0,4 \cdot 0 + 3$

$y = 0 + 3$

$y = 3$

Ответ: 3

Расчет для y = 0

Подставляем значение $y = 0$ в формулу и решаем уравнение относительно $x$:

$0 = 0,4x + 3$

$-3 = 0,4x$

$x = \frac{-3}{0,4} = -7,5$

Ответ: -7,5

Расчет для x = 5

Подставляем значение $x = 5$ в формулу:

$y = 0,4 \cdot 5 + 3$

$y = 2 + 3$

$y = 5$

Ответ: 5

Расчет для y = -13

Подставляем значение $y = -13$ в формулу и решаем уравнение относительно $x$:

$-13 = 0,4x + 3$

$-13 - 3 = 0,4x$

$-16 = 0,4x$

$x = \frac{-16}{0,4} = -40$

Ответ: -40

Итоговая заполненная таблица: