Страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1034. Задана функция $y = 1 - x$, областью определения которой являются все однозначные натуральные числа. Постройте график этой функции.

Для решения этой задачи необходимо сначала определить область определения функции, а затем вычислить значения функции для каждого элемента из этой области.

1. Определение области определения.
Согласно условию, область определения функции $y = 1 - x$ — это все однозначные натуральные числа. Натуральные числа — это числа, используемые при счете: 1, 2, 3, ... . Однозначные натуральные числа — это числа от 1 до 9 включительно. Таким образом, область определения функции $D(y)$ — это множество: $D(y) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

2. Вычисление значений функции.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$ из области определения, подставляя их в формулу $y = 1 - x$. Составим таблицу значений:

3. Построение графика.
График данной функции состоит не из сплошной линии, а из набора отдельных точек, так как область определения — это дискретное множество чисел. Каждая пара $(x, y)$ из таблицы представляет собой координаты точки на координатной плоскости.

Графиком функции являются следующие 9 точек:

• (1; 0)
• (2; -1)
• (3; -2)
• (4; -3)
• (5; -4)
• (6; -5)
• (7; -6)
• (8; -7)
• (9; -8)

Для построения графика нужно нарисовать систему координат, отметить на ней эти 9 точек. Соединять их линией не нужно. Все эти точки лежат на прямой $y = 1 - x$.

Ответ: Графиком функции является множество из девяти точек с координатами (1; 0), (2; -1), (3; -2), (4; -3), (5; -4), (6; -5), (7; -6), (8; -7), (9; -8).

1035. Постройте график функции $f(x) = 1,5x + 1$, областью определения которой являются целые числа, удовлетворяющие неравенству $-4 \le x \le 2$.

Для построения графика функции $f(x) = 1,5x + 1$ необходимо найти все точки, принадлежащие этому графику, с учетом заданной области определения.

1. Определение области определения функции

По условию, область определения функции $D(f)$ — это множество целых чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $-4 \le x \le 2$. Выпишем все такие целые числа:

$x \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$

Это означает, что график функции будет состоять не из сплошной линии, а из набора отдельных точек.

2. Вычисление координат точек графика

Теперь найдем значение функции $y = f(x)$ для каждого целого числа $x$ из области определения.

Если $x = -4$, то $y = 1,5 \cdot (-4) + 1 = -6 + 1 = -5$. Получаем точку с координатами $(-4; -5)$.

Если $x = -3$, то $y = 1,5 \cdot (-3) + 1 = -4,5 + 1 = -3,5$. Получаем точку с координатами $(-3; -3,5)$.

Если $x = -2$, то $y = 1,5 \cdot (-2) + 1 = -3 + 1 = -2$. Получаем точку с координатами $(-2; -2)$.

Если $x = -1$, то $y = 1,5 \cdot (-1) + 1 = -1,5 + 1 = -0,5$. Получаем точку с координатами $(-1; -0,5)$.

Если $x = 0$, то $y = 1,5 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$. Получаем точку с координатами $(0; 1)$.

Если $x = 1$, то $y = 1,5 \cdot 1 + 1 = 1,5 + 1 = 2,5$. Получаем точку с координатами $(1; 2,5)$.

Если $x = 2$, то $y = 1,5 \cdot 2 + 1 = 3 + 1 = 4$. Получаем точку с координатами $(2; 4)$.

3. Построение графика

График функции представляет собой совокупность найденных точек. Чтобы построить график, необходимо отметить эти семь точек на координатной плоскости. Соединять их линией не следует, так как функция определена только для целых значений аргумента из указанного промежутка.

Ответ: График функции состоит из множества семи точек с координатами: $(-4; -5)$, $(-3; -3,5)$, $(-2; -2)$, $(-1; -0,5)$, $(0; 1)$, $(1; 2,5)$, $(2; 4)$.

1036. Постройте график функции, областью определения которой является множество $N$ и которая принимает значение $1$ при чётных значениях аргумента и значение $-1$ при нечётных значениях аргумента.

Пусть дана функция $y = f(x)$. По условию, её область определения — это множество натуральных чисел $N$, то есть аргумент $x$ может принимать значения $x \in \{1, 2, 3, 4, \dots\}$.

Правило для нахождения значений функции следующее:

• если аргумент $x$ — чётное натуральное число ($x=2, 4, 6, ...$), то $f(x) = 1$;
• если аргумент $x$ — нечётное натуральное число ($x=1, 3, 5, ...$), то $f(x) = -1$.

Эту функцию можно также задать аналитической формулой $y = (-1)^x$, где $x \in N$.

Так как область определения функции — это множество отдельных чисел, а не непрерывный промежуток, то график функции будет состоять из набора изолированных точек.

Вычислим координаты нескольких первых точек этого графика:

• При $x=1$ (нечётное), $y = (-1)^1 = -1$. Получаем точку с координатами $(1; -1)$.
• При $x=2$ (чётное), $y = (-1)^2 = 1$. Получаем точку с координатами $(2; 1)$.
• При $x=3$ (нечётное), $y = (-1)^3 = -1$. Получаем точку с координатами $(3; -1)$.
• При $x=4$ (чётное), $y = (-1)^4 = 1$. Получаем точку с координатами $(4; 1)$.
• При $x=5$ (нечётное), $y = (-1)^5 = -1$. Получаем точку с координатами $(5; -1)$.

Как мы видим, все точки с нечётными натуральными абсциссами лежат на горизонтальной прямой $y=-1$, а все точки с чётными натуральными абсциссами лежат на горизонтальной прямой $y=1$.

Изобразим эти точки на координатной плоскости.

Ответ: График функции представляет собой бесконечную последовательность изолированных точек. Точки с нечётными натуральными абсциссами $(1, 3, 5, \dots)$ имеют ординату $-1$ и лежат на прямой $y=-1$. Точки с чётными натуральными абсциссами $(2, 4, 6, \dots)$ имеют ординату $1$ и лежат на прямой $y=1$. График представлен на рисунке выше.

1037. Функция $f$ задана описательно: значение функции равно наибольшему целому числу, которое не превышает соответствующее значение аргумента. Постройте график этой функции.

Функция $f$, описанная в задаче, ставит в соответствие каждому числу $x$ наибольшее целое число, которое не превышает $x$. Эта функция называется «целая часть числа» или «антье» (от фр. entier — «целый») и стандартно обозначается как $y = [x]$ или $y = \lfloor x \rfloor$. Таким образом, мы имеем дело с функцией $f(x) = [x]$.

По определению, значение функции $f(x)$ равно целому числу $n$ для всех значений аргумента $x$, удовлетворяющих неравенству $n \le x < n+1$.

Рассмотрим, как это работает на конкретных примерах:
- Если $x = 2.7$, то наибольшее целое число, не превышающее $2.7$, — это $2$. Следовательно, $f(2.7) = 2$.
- Если $x = 3$ (целое число), то наибольшее целое число, не превышающее $3$, — это само число $3$. Следовательно, $f(3) = 3$.
- Если $x = 0.5$, то $f(0.5) = 0$.
- Если $x = -0.4$, то целые числа, которые не превышают $-0.4$, это $-1, -2, -3, \dots$. Наибольшее из них — это $-1$. Следовательно, $f(-0.4) = -1$.
- Если $x = -2$, то $f(-2) = -2$.

Для построения графика функции разобьем числовую ось на промежутки вида $[n, n+1)$, где $n$ — любое целое число. На каждом таком промежутке функция будет принимать постоянное значение, равное $n$.

Построим график по частям:
- На промежутке $[-2, -1)$, то есть для всех $x$ таких, что $-2 \le x < -1$, значение функции $f(x) = -2$. Графиком на этом участке является горизонтальный отрезок прямой $y = -2$ с началом в точке $(-2, -2)$ и концом в точке $(-1, -2)$.
- На промежутке $[-1, 0)$, то есть для $-1 \le x < 0$, значение функции $f(x) = -1$. График — отрезок прямой $y = -1$ от точки $(-1, -1)$ до $(-1, 0)$.
- На промежутке $[0, 1)$, то есть для $0 \le x < 1$, значение функции $f(x) = 0$. График — отрезок прямой $y = 0$ от точки $(0, 0)$ до $(1, 0)$.
- На промежутке $[1, 2)$, то есть для $1 \le x < 2$, значение функции $f(x) = 1$. График — отрезок прямой $y = 1$ от точки $(1, 1)$ до $(2, 1)$.
- На промежутке $[2, 3)$, то есть для $2 \le x < 3$, значение функции $f(x) = 2$. График — отрезок прямой $y = 2$ от точки $(2, 2)$ до $(3, 2)$.

Продолжая таким образом, мы видим, что график состоит из бесконечного набора горизонтальных отрезков. Каждый отрезок соответствует промежутку $[n, n+1)$ и расположен на высоте $y=n$. Левая точка каждого отрезка, $(n, n)$, принадлежит графику (на чертеже ее отмечают закрашенным кружком), так как $f(n) = n$. Правая точка, $(n+1, n)$, не принадлежит графику (ее отмечают выколотым или пустым кружком), так как $f(n+1) = n+1$, а не $n$.

В результате получается график, имеющий характерный ступенчатый вид. Его называют графиком функции «целая часть числа» или «ступенчатой функцией».

Ответ: График функции представляет собой совокупность горизонтальных отрезков единичной длины. Для каждого целого числа $n$ на полуинтервале $[n, n+1)$ график функции совпадает с отрезком прямой $y=n$. Левая конечная точка каждого такого отрезка, имеющая координаты $(n, n)$, принадлежит графику, а правая конечная точка, $(n+1, n)$, — не принадлежит. График имеет вид «лесенки», поднимающейся слева направо.

1038. Трактористы Иван и Пётр, работая вместе, могут вспахать поле за 21 ч, трактористы Пётр и Николай – за 28 ч, а Иван и Николай – за 20 ч. За какое время Иван, Пётр и Николай могут вспахать это поле, работая вместе?

Для решения этой задачи введем переменные, обозначающие производительность каждого тракториста. Производительность — это часть работы (поля), которую тракторист выполняет за единицу времени (1 час). Примем всю работу по вспашке поля за 1.

Пусть $v_И$ — производительность Ивана (часть поля в час),
$v_П$ — производительность Петра (часть поля в час),
$v_Н$ — производительность Николая (часть поля в час).

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему уравнений, где каждое уравнение представляет собой совместную производительность двух трактористов:

1. Иван и Пётр, работая вместе, вспахивают поле за 21 час. Их совместная производительность равна $v_И + v_П$. Следовательно, за 1 час они выполняют $\frac{1}{21}$ всей работы.
$v_И + v_П = \frac{1}{21}$

2. Пётр и Николай, работая вместе, вспахивают поле за 28 часов. Их совместная производительность $v_П + v_Н$. Следовательно, за 1 час они выполняют $\frac{1}{28}$ всей работы.
$v_П + v_Н = \frac{1}{28}$

3. Иван и Николай, работая вместе, вспахивают поле за 20 часов. Их совместная производительность $v_И + v_Н$. Следовательно, за 1 час они выполняют $\frac{1}{20}$ всей работы.
$v_И + v_Н = \frac{1}{20}$

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} v_И + v_П = \frac{1}{21} \\ v_П + v_Н = \frac{1}{28} \\ v_И + v_Н = \frac{1}{20} \end{cases}$

Чтобы найти, за какое время они вспашут поле, работая втроем, нам нужно найти их общую производительность $v_И + v_П + v_Н$. Для этого сложим все три уравнения системы:

$(v_И + v_П) + (v_П + v_Н) + (v_И + v_Н) = \frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{20}$

Сгруппируем переменные в левой части:

$2v_И + 2v_П + 2v_Н = \frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{20}$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(v_И + v_П + v_Н) = \frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{20}$

Теперь вычислим сумму дробей в правой части. Для этого найдем их наименьший общий знаменатель. Разложим знаменатели на простые множители:

$21 = 3 \cdot 7$
$28 = 2^2 \cdot 7$
$20 = 2^2 \cdot 5$
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 21, 28 и 20 будет:
НОК(21, 28, 20) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.

Приведем дроби к общему знаменателю 420:

$\frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 20}{420} + \frac{1 \cdot 15}{420} + \frac{1 \cdot 21}{420} = \frac{20+15+21}{420} = \frac{56}{420}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 56 и 420 равен 28.
$\frac{56}{420} = \frac{56 \div 28}{420 \div 28} = \frac{2}{15}$

Теперь вернемся к нашему уравнению с удвоенной производительностью:

$2(v_И + v_П + v_Н) = \frac{2}{15}$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти общую производительность трех трактористов:

$v_И + v_П + v_Н = \frac{2}{15} \div 2 = \frac{2}{15 \cdot 2} = \frac{1}{15}$

Таким образом, работая вместе, три тракториста за 1 час вспахивают $\frac{1}{15}$ часть поля.

Чтобы найти общее время $T$, за которое они вспашут все поле (то есть выполнят работу, равную 1), нужно разделить всю работу на их общую производительность:

$T = \frac{1}{v_И + v_П + v_Н} = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15$ часов.

Ответ: 15 часов.

1039. Упростите выражение:

1) $(c+2)(c-3)-(c+1)(c+3);$

2) $(p+4)(p-11)+(p+6)^2;$

3) $3(x-5)^2-(8x^2-10x);$

4) $7(2y-5)^2-2(7y-1)^2.$

1) Чтобы упростить выражение $(c + 2)(c - 3) - (c + 1)(c + 3)$, сначала раскроем скобки в каждом произведении многочленов.

Раскрываем первую пару скобок:

$(c + 2)(c - 3) = c \cdot c + c \cdot (-3) + 2 \cdot c + 2 \cdot (-3) = c^2 - 3c + 2c - 6 = c^2 - c - 6$.

Раскрываем вторую пару скобок:

$(c + 1)(c + 3) = c \cdot c + c \cdot 3 + 1 \cdot c + 1 \cdot 3 = c^2 + 3c + c + 3 = c^2 + 4c + 3$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(c^2 - c - 6) - (c^2 + 4c + 3)$.

Раскрываем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$c^2 - c - 6 - c^2 - 4c - 3$.

Приводим подобные слагаемые:

$(c^2 - c^2) + (-c - 4c) + (-6 - 3) = 0 - 5c - 9 = -5c - 9$.

Ответ: $-5c - 9$

2) Чтобы упростить выражение $(p + 4)(p - 11) + (p + 6)^2$, раскроем произведение многочленов и квадрат суммы.

Раскрываем первую пару скобок:

$(p + 4)(p - 11) = p \cdot p + p \cdot (-11) + 4 \cdot p + 4 \cdot (-11) = p^2 - 11p + 4p - 44 = p^2 - 7p - 44$.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ для второго слагаемого:

$(p + 6)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 6 + 6^2 = p^2 + 12p + 36$.

Сложим полученные выражения:

$(p^2 - 7p - 44) + (p^2 + 12p + 36) = p^2 - 7p - 44 + p^2 + 12p + 36$.

Приводим подобные слагаемые:

$(p^2 + p^2) + (-7p + 12p) + (-44 + 36) = 2p^2 + 5p - 8$.

Ответ: $2p^2 + 5p - 8$

3) Чтобы упростить выражение $3(x - 5)^2 - (8x^2 - 10x)$, используем формулу квадрата разности и раскроем скобки.

Используем формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$.

Подставим это в исходное выражение:

$3(x^2 - 10x + 25) - (8x^2 - 10x)$.

Раскроем скобки. Первые, умножив на 3, вторые, изменив знаки на противоположные:

$3x^2 - 30x + 75 - 8x^2 + 10x$.

Приводим подобные слагаемые:

$(3x^2 - 8x^2) + (-30x + 10x) + 75 = -5x^2 - 20x + 75$.

Ответ: $-5x^2 - 20x + 75$

4) Чтобы упростить выражение $7(2y - 5)^2 - 2(7y - 1)^2$, используем формулу квадрата разности для каждого члена.

Используем формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ для первого квадрата:

$(2y - 5)^2 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 5 + 5^2 = 4y^2 - 20y + 25$.

Используем ту же формулу для второго квадрата:

$(7y - 1)^2 = (7y)^2 - 2 \cdot 7y \cdot 1 + 1^2 = 49y^2 - 14y + 1$.

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$7(4y^2 - 20y + 25) - 2(49y^2 - 14y + 1)$.

Раскроем скобки, умножая на коэффициенты перед ними:

$(28y^2 - 140y + 175) - (98y^2 - 28y + 2)$.

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$28y^2 - 140y + 175 - 98y^2 + 28y - 2$.

Приводим подобные слагаемые:

$(28y^2 - 98y^2) + (-140y + 28y) + (175 - 2) = -70y^2 - 112y + 173$.

Ответ: $-70y^2 - 112y + 173$

1040. Докажите тождество:

1) $(4a^2+3)^2+(7-4a^2)^2-2(4a^2+3)(4a^2-7)=100;$

2) $(a^2-6ab+9b^2)(a^2+6ab+9b^2)-(a^2-9b^2)^2=0.$

1) $(4a^2 + 3)^2 + (7 - 4a^2)^2 - 2(4a^2 + 3)(4a^2 - 7) = 100$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Заметим, что выражение $(4a^2 - 7)$ можно представить как $-(7 - 4a^2)$. Подставим это в исходное выражение:

$(4a^2 + 3)^2 + (7 - 4a^2)^2 - 2(4a^2 + 3)(-(7 - 4a^2)) = 100$

$(4a^2 + 3)^2 + (7 - 4a^2)^2 + 2(4a^2 + 3)(7 - 4a^2) = 100$

Полученное выражение в левой части представляет собой формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$, где $x = 4a^2 + 3$ и $y = 7 - 4a^2$.

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы:

$((4a^2 + 3) + (7 - 4a^2))^2 = 100$

Упростим выражение в скобках:

$(4a^2 + 3 + 7 - 4a^2)^2 = 100$

$(10)^2 = 100$

$100 = 100$

Левая часть тождественно равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) $(a^2 - 6ab + 9b^2)(a^2 + 6ab + 9b^2) - (a^2 - 9b^2)^2 = 0$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Рассмотрим первые два множителя.

Первый множитель $a^2 - 6ab + 9b^2$ является полным квадратом разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a - 3b)^2$.

Второй множитель $a^2 + 6ab + 9b^2$ является полным квадратом суммы: $a^2 + 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a + 3b)^2$.

Таким образом, произведение первых двух множителей можно записать как:

$(a - 3b)^2 (a + 3b)^2$

Используя свойство степеней $(xy)^n = x^n y^n$, объединим основания:

$((a - 3b)(a + 3b))^2$

Выражение в скобках является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$(a^2 - (3b)^2)^2 = (a^2 - 9b^2)^2$

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного тождества:

$(a^2 - 9b^2)^2 - (a^2 - 9b^2)^2 = 0$

$0 = 0$

Левая часть тождественно равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

1041. Докажите, что при любом нечётном значении n значение выражения $(4n + 1)^2 - (n + 4)^2$ кратно 120.

Для доказательства сперва упростим данное выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$(4n + 1)^2 - (n + 4)^2 = ((4n + 1) - (n + 4)) \cdot ((4n + 1) + (n + 4))$

$= (4n + 1 - n - 4) \cdot (4n + 1 + n + 4)$

$= (3n - 3) \cdot (5n + 5)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$= 3(n - 1) \cdot 5(n + 1) = 15(n - 1)(n + 1)$

Теперь проанализируем полученное выражение с учётом того, что $n$ — нечётное число по условию.

Если $n$ — нечётное, то числа $(n - 1)$ и $(n + 1)$ являются двумя последовательными чётными числами.

Нам нужно доказать, что выражение $15(n - 1)(n + 1)$ кратно 120. Поскольку $120 = 15 \cdot 8$, нам достаточно доказать, что произведение $(n - 1)(n + 1)$ кратно 8.

Рассмотрим произведение двух последовательных чётных чисел. Пусть первое чётное число равно $2k$, где $k$ — целое число. Тогда следующее за ним чётное число будет $2k+2$. Их произведение равно:

$2k \cdot (2k + 2) = 4k(k + 1)$.

Произведение $k(k+1)$ — это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из них обязательно чётное, поэтому их произведение $k(k+1)$ всегда делится на 2. Пусть $k(k+1) = 2m$ для некоторого целого числа $m$.

Тогда произведение двух последовательных чётных чисел равно $4 \cdot (2m) = 8m$, что доказывает его делимость на 8.

Так как $(n-1)$ и $(n+1)$ — это два последовательных чётных числа, их произведение $(n-1)(n+1)$ делится на 8. Значит, его можно представить в виде $8m$, где $m$ — целое число.

Подставим это в наше выражение:

$15(n - 1)(n + 1) = 15 \cdot (8m) = 120m$.

Поскольку $m$ — целое число, выражение $120m$ всегда делится на 120. Таким образом, мы доказали, что при любом нечётном значении $n$ значение выражения $(4n + 1)^2 - (n + 4)^2$ кратно 120.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $(4n + 1)^2 - (n + 4)^2$ равно $15(n-1)(n+1)$. При нечётном $n$ сомножители $(n-1)$ и $(n+1)$ являются последовательными чётными числами, их произведение делится на 8. Следовательно, всё выражение делится на $15 \cdot 8 = 120$.

1042. Найдите какие-нибудь три натуральных значения переменной $x$ таких, чтобы выражение $a^2 - 2x$ можно было разложить на множители по формуле разности квадратов. Полученные выражения разложите на множители.

Для того чтобы выражение $a^2 - 2x$ можно было разложить на множители по формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, необходимо, чтобы член $2x$ представлял собой полный квадрат некоторого числа или выражения.

Пусть $2x = k^2$. Поскольку по условию задачи $x$ — натуральное число, $2x$ должно быть чётным числом. Если квадрат числа ($k^2$) является чётным, то и само число ($k$) также должно быть чётным. Представим $k$ в виде $k = 2n$, где $n$ — любое натуральное число ($n = 1, 2, 3, \ldots$).

Тогда $2x = (2n)^2 = 4n^2$. Из этого уравнения находим выражение для $x$:

$x = \frac{4n^2}{2} = 2n^2$

Теперь мы можем найти три требуемых натуральных значения $x$, выбрав три любых натуральных значения для $n$.

Возьмем $n=1$. Тогда значение $x$ будет: $x = 2 \cdot 1^2 = 2$.

Подставим это значение в исходное выражение: $a^2 - 2(2) = a^2 - 4$.

Разложим полученное выражение на множители, используя формулу разности квадратов:

$a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$.

Ответ: при $x=2$ выражение раскладывается как $a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$.

Возьмем $n=2$. Тогда значение $x$ будет: $x = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$.

Подставим это значение в исходное выражение: $a^2 - 2(8) = a^2 - 16$.

Разложим полученное выражение на множители:

$a^2 - 16 = a^2 - 4^2 = (a - 4)(a + 4)$.

Ответ: при $x=8$ выражение раскладывается как $a^2 - 16 = (a-4)(a+4)$.

Возьмем $n=3$. Тогда значение $x$ будет: $x = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.

Подставим это значение в исходное выражение: $a^2 - 2(18) = a^2 - 36$.

Разложим полученное выражение на множители:

$a^2 - 36 = a^2 - 6^2 = (a - 6)(a + 6)$.

Ответ: при $x=18$ выражение раскладывается как $a^2 - 36 = (a-6)(a+6)$.

1043. (Задача Бхаскары1)

Есть кадамба цветок; на один лепесток пчёлок пятая часть села. Рядом росла вся в цвету симендга, и на ней третья часть разместилась. Разность их ты найди, затем трижды её сложи, на кумай этих пчёл посади. Только пчёлка одна не нашла себе места нигде, всё летала туда и сюда, запахом цветов наслаждалась. И скажи мне теперь: сколько пчёлок всего здесь собралось?

Это классическая задача на составление уравнения. Давайте разберём её по частям.

Решение:

Пусть $x$ — это общее количество пчёл в рое. Тогда, согласно условию задачи, мы можем распределить пчёл по группам:

• На цветке кадамба села пятая часть пчёл, то есть $\frac{1}{5}x$.

• На цветке симендга разместилась третья часть пчёл, то есть $\frac{1}{3}x$.

• На цветке кумай села группа пчёл, численность которой равна утроенной разности между второй и первой группами. Разность составляет $\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x$. Утроенная разность равна $3 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x)$.

• И ещё одна пчёлка ($1$) летала отдельно.

Сумма всех этих групп пчёл должна быть равна их общему количеству $x$. Составим уравнение:

$x = \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}x + 3 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x) + 1$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом:

1. Сначала выполним действие в скобках. Приведём дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x = \frac{5x}{15} - \frac{3x}{15} = \frac{2x}{15}$

2. Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$x = \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}x + 3 \cdot \frac{2x}{15} + 1$

3. Умножим $3$ на дробь:

$x = \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}x + \frac{6x}{15} + 1$

4. Сократим дробь $\frac{6x}{15}$ на 3, получим $\frac{2x}{5}$. Уравнение примет вид:

$x = \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}x + \frac{2x}{5} + 1$

5. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:

$x = (\frac{1}{5}x + \frac{2x}{5}) + \frac{1}{3}x + 1$

$x = \frac{3x}{5} + \frac{1}{3}x + 1$

6. Теперь перенесём все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения:

$x - \frac{3x}{5} - \frac{1}{3}x = 1$

7. Приведём левую часть к общему знаменателю 15:

$\frac{15x}{15} - \frac{3 \cdot 3x}{15} - \frac{5 \cdot 1x}{15} = 1$

$\frac{15x - 9x - 5x}{15} = 1$

8. Выполним вычитание в числителе:

$\frac{15x - 14x}{15} = 1$

$\frac{x}{15} = 1$

9. Отсюда находим $x$:

$x = 15$

Таким образом, всего было 15 пчёлок.

Проверим:
На кадамбе: $\frac{15}{5} = 3$ пчелы.
На симендге: $\frac{15}{3} = 5$ пчёл.
На кумае: $3 \cdot (5 - 3) = 3 \cdot 2 = 6$ пчёл.
Летала: $1$ пчела.
Всего: $3 + 5 + 6 + 1 = 15$ пчёл. Всё сходится.

Ответ: всего здесь собралось 15 пчёлок.