Страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1019. Принадлежит ли графику функции $y = x^2 + 2$ точка:

1) A $(0; 2);

2) B $(-1; 1);

3) C $(-2; 6);

4) D $(-3; -7)?

Для того чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты точки ($x$ и $y$) в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 2$ и каждую точку по отдельности.

1) A(0; 2);

Подставим координаты точки $A$ ($x=0$, $y=2$) в уравнение функции:

$2 = (0)^2 + 2$

$2 = 0 + 2$

$2 = 2$

Получено верное равенство. Следовательно, точка $A$ принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

2) B(-1; 1);

Подставим координаты точки $B$ ($x=-1$, $y=1$) в уравнение функции:

$1 = (-1)^2 + 2$

$1 = 1 + 2$

$1 = 3$

Получено неверное равенство. Следовательно, точка $B$ не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

3) C(-2; 6);

Подставим координаты точки $C$ ($x=-2$, $y=6$) в уравнение функции:

$6 = (-2)^2 + 2$

$6 = 4 + 2$

$6 = 6$

Получено верное равенство. Следовательно, точка $C$ принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

4) D(-3; -7);

Подставим координаты точки $D$ ($x=-3$, $y=-7$) в уравнение функции:

$-7 = (-3)^2 + 2$

$-7 = 9 + 2$

$-7 = 11$

Получено неверное равенство. Следовательно, точка $D$ не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

1020. Принадлежит ли графику функции $y = -2x^2 - 1$ точка:

1) A $(\frac{1}{2}; -1,5)$;

2) B $(-3; 17)?$

1) A($\frac{1}{2}$; -1,5);
Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты точки в уравнение функции. Если получится верное равенство, то точка принадлежит графику.
Дана функция $y = -2x^2 - 1$ и точка $A(\frac{1}{2}; -1,5)$.
В данном случае, $x = \frac{1}{2}$ и $y = -1,5$.
Подставим значение $x$ в уравнение функции и вычислим значение $y$:
$y = -2 \cdot (\frac{1}{2})^2 - 1 = -2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = -\frac{2}{4} - 1 = -\frac{1}{2} - 1$.
Преобразуем дробь в десятичную: $-\frac{1}{2} = -0,5$.
$y = -0,5 - 1 = -1,5$.
Вычисленное значение $y$ ($ -1,5 $) совпадает с y-координатой точки A ($ -1,5 $). Следовательно, равенство $-1,5 = -1,5$ верное.
Ответ: да, принадлежит.

2) B(-3; 17)?
Проверим принадлежность точки $B(-3; 17)$ графику функции $y = -2x^2 - 1$.
Координаты точки: $x = -3$ и $y = 17$.
Подставим значение $x$ в уравнение функции:
$y = -2 \cdot (-3)^2 - 1 = -2 \cdot 9 - 1 = -18 - 1 = -19$.
Вычисленное значение $y = -19$ не совпадает с y-координатой точки B, которая равна $17$.
Так как $-19 \neq 17$, равенство неверное, и точка B не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

1021. Назовите координаты нескольких точек, принадлежащих графику функции:

1) $y = 7x - 4$;

2) $y = x^2 + 1$;

3) $y = 4 - |x|$.

Чтобы найти координаты точек, принадлежащих графику функции, необходимо выбрать произвольные значения абсциссы ($x$) и, подставив их в уравнение функции, вычислить соответствующие значения ординаты ($y$).

1) $y = 7x - 4$

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Найдем координаты нескольких точек для этой прямой.

• При $x = 0$, $y = 7 \cdot 0 - 4 = -4$. Координаты точки: $(0; -4)$.
• При $x = 1$, $y = 7 \cdot 1 - 4 = 3$. Координаты точки: $(1; 3)$.
• При $x = 2$, $y = 7 \cdot 2 - 4 = 14 - 4 = 10$. Координаты точки: $(2; 10)$.

Ответ: например, $(0; -4)$, $(1; 3)$, $(2; 10)$.

2) $y = x^2 + 1$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Найдем координаты нескольких точек.

• При $x = 0$, $y = 0^2 + 1 = 1$. Координаты точки: $(0; 1)$.
• При $x = 1$, $y = 1^2 + 1 = 2$. Координаты точки: $(1; 2)$.
• При $x = -1$, $y = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$. Координаты точки: $(-1; 2)$.
• При $x = 2$, $y = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$. Координаты точки: $(2; 5)$.

Ответ: например, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(-1; 2)$, $(2; 5)$.

3) $y = 4 - |x|$

Это функция, содержащая модуль. Ее график состоит из двух лучей, выходящих из одной точки.

• При $x = 0$, $y = 4 - |0| = 4$. Координаты точки: $(0; 4)$.
• При $x = 2$, $y = 4 - |2| = 4 - 2 = 2$. Координаты точки: $(2; 2)$.
• При $x = -2$, $y = 4 - |-2| = 4 - 2 = 2$. Координаты точки: $(-2; 2)$.
• При $x = 4$, $y = 4 - |4| = 4 - 4 = 0$. Координаты точки: $(4; 0)$.

Ответ: например, $(0; 4)$, $(2; 2)$, $(-2; 2)$, $(4; 0)$.

1022. Графикам каких из данных функций принадлежит точка A (1; 2):

1) $y = 1 - 2x;$

2) $y = x^2 + 1;$

3) $y = \frac{2}{x};$

4) $y = 0,3x + 0,7?$

Чтобы проверить, принадлежит ли точка $A(1; 2)$ графику функции, нужно подставить ее координаты $x=1$ и $y=2$ в уравнение функции. Если получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.

1) $y = 1 - 2x$

Подставляем $x=1$ и $y=2$ в уравнение:

$2 = 1 - 2 \cdot 1$

$2 = 1 - 2$

$2 = -1$

Полученное равенство неверно, значит, точка $A(1; 2)$ не принадлежит графику данной функции.

Ответ: не принадлежит.

2) $y = x^2 + 1$

Подставляем $x=1$ и $y=2$ в уравнение:

$2 = 1^2 + 1$

$2 = 1 + 1$

$2 = 2$

Полученное равенство верно, значит, точка $A(1; 2)$ принадлежит графику данной функции.

Ответ: принадлежит.

3) $y = \frac{2}{x}$

Подставляем $x=1$ и $y=2$ в уравнение:

$2 = \frac{2}{1}$

$2 = 2$

Полученное равенство верно, значит, точка $A(1; 2)$ принадлежит графику данной функции.

Ответ: принадлежит.

4) $y = 0,3x + 0,7$

Подставляем $x=1$ и $y=2$ в уравнение:

$2 = 0,3 \cdot 1 + 0,7$

$2 = 0,3 + 0,7$

$2 = 1$

Полученное равенство неверно, значит, точка $A(1; 2)$ не принадлежит графику данной функции.

Ответ: не принадлежит.

Таким образом, точка $A(1; 2)$ принадлежит графикам функций 2) $y = x^2 + 1$ и 3) $y = \frac{2}{x}$.

1023. Принадлежит ли графику функции $y = -\frac{x}{3}$ точка:

1) A (9; -3);

2) B (6; 2);

3) C (-1; 3);

4) D (-12; 4)?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты (x и y) в уравнение функции $y = -\frac{x}{3}$. Если в результате получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное, то точка не принадлежит графику.

1) A (9; –3);
Подставляем координаты точки A в уравнение. Здесь $x = 9$ и $y = -3$.
$y = -\frac{x}{3}$
$-3 = -\frac{9}{3}$
$-3 = -3$
Равенство верное, значит, точка A принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

2) B (6; 2);
Подставляем координаты точки B в уравнение. Здесь $x = 6$ и $y = 2$.
$y = -\frac{x}{3}$
$2 = -\frac{6}{3}$
$2 = -2$
Равенство неверное, значит, точка B не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

3) C (–1; 3);
Подставляем координаты точки C в уравнение. Здесь $x = -1$ и $y = 3$.
$y = -\frac{x}{3}$
$3 = -\frac{-1}{3}$
$3 = \frac{1}{3}$
Равенство неверное, значит, точка C не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

4) D (–12; 4)?
Подставляем координаты точки D в уравнение. Здесь $x = -12$ и $y = 4$.
$y = -\frac{x}{3}$
$4 = -\frac{-12}{3}$
$4 = \frac{12}{3}$
$4 = 4$
Равенство верное, значит, точка D принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

1024. Какие из фигур на рисунке 49 могут быть графиком функции?

Рис. 49

a

$y$

$0$

$x$

б

$y$

$0$

$x$

в

$y$

$0$

$x$

г

$y$

$0$

$x$

Согласно определению функции, каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) должно соответствовать единственное значение зависимой переменной (функции $y$). Графически это означает, что любая вертикальная прямая, проведенная параллельно оси $Oy$, может пересекать график функции не более чем в одной точке. Этот критерий известен как тест с вертикальной прямой. Проверим каждую фигуру на соответствие этому правилу.

а) Для данного графика любая вертикальная прямая $x = c$ (где $c$ — константа) пересекает кривую ровно в одной точке. Это означает, что каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$. Следовательно, эта фигура может быть графиком функции.
Ответ: Да, может.

б) Этот график представляет собой ломаную линию. Применив тест с вертикальной прямой, мы видим, что любая вертикальная прямая пересекает график не более чем в одной точке. Для каждого значения $x$ существует только одно значение $y$. Следовательно, эта фигура также может быть графиком функции.
Ответ: Да, может.

в) Этот график представляет собой параболу, ветви которой направлены вправо. Если мы проведем вертикальную прямую для любого значения $x > 0$, она пересечет кривую в двух точках: одной с положительной координатой $y$ и другой с отрицательной. Поскольку одному значению $x$ соответствует два значения $y$, это не является графиком функции.
Ответ: Нет, не может.

г) Эта кривая также не проходит тест с вертикальной прямой. Например, сама ось $Oy$ (вертикальная прямая $x = 0$) пересекает график в трех точках. Кроме того, любая вертикальная прямая, проведенная для значений $x$ в некотором интервале вокруг нуля, будет пересекать кривую в нескольких точках. Это нарушает определение функции.
Ответ: Нет, не может.

1025. Какая из фигур на рисунке 50 может быть графиком функции?

Рис. 50

a

$y$

$0$

$x$

б

$y$

$0$

$x$

Для того чтобы определить, является ли кривая на плоскости графиком функции, нужно проверить, соответствует ли она определению функции. Согласно определению, функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента, обычно обозначаемого как $x$) из области определения соответствует единственное значение зависимой переменной (функции, обычно обозначаемой как $y$).

Для графической проверки этого условия используют "тест вертикальной прямой". Если любая вертикальная прямая, проведенная на графике, пересекает его не более чем в одной точке, то график является графиком функции.

a

Рассмотрим фигуру a. Если мы проведем вертикальную прямую через любую точку на оси абсцисс, где $x > 0$, то эта прямая пересечет график в двух точках: одной в первой координатной четверти (где $y > 0$) и другой в четвертой координатной четверти (где $y < 0$). Это означает, что одному значению аргумента $x$ соответствует два разных значения функции $y$, что противоречит определению функции.

Ответ: Фигура a не может быть графиком функции.

б

Теперь рассмотрим фигуру б. Если мы проведем вертикальную прямую через любую точку на оси абсцисс, то мы увидим, что эта прямая пересечет график ровно в одной точке.

• При $x < 0$ вертикальная прямая пересекает график в одной точке в третьей четверти.
• При $x = 0$ вертикальная прямая пересекает график в одной точке — начале координат.
• При $x > 0$ вертикальная прямая пересекает график в одной точке в четвертой четверти.

Поскольку для любого значения $x$ существует только одно соответствующее значение $y$, данная фигура является графиком функции. Примером такой функции является $y = -|x|$.

Ответ: Фигура б может быть графиком функции.