Номер 1038, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1038, страница 192.

Условие.

1038. Трактористы Иван и Пётр, работая вместе, могут вспахать поле за 21 ч, трактористы Пётр и Николай – за 28 ч, а Иван и Николай – за 20 ч. За какое время Иван, Пётр и Николай могут вспахать это поле, работая вместе?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения этой задачи введем переменные, обозначающие производительность каждого тракториста. Производительность — это часть работы (поля), которую тракторист выполняет за единицу времени (1 час). Примем всю работу по вспашке поля за 1.

Пусть $v_И$ — производительность Ивана (часть поля в час),
$v_П$ — производительность Петра (часть поля в час),
$v_Н$ — производительность Николая (часть поля в час).

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему уравнений, где каждое уравнение представляет собой совместную производительность двух трактористов:

1. Иван и Пётр, работая вместе, вспахивают поле за 21 час. Их совместная производительность равна $v_И + v_П$. Следовательно, за 1 час они выполняют $\frac{1}{21}$ всей работы.
$v_И + v_П = \frac{1}{21}$

2. Пётр и Николай, работая вместе, вспахивают поле за 28 часов. Их совместная производительность $v_П + v_Н$. Следовательно, за 1 час они выполняют $\frac{1}{28}$ всей работы.
$v_П + v_Н = \frac{1}{28}$

3. Иван и Николай, работая вместе, вспахивают поле за 20 часов. Их совместная производительность $v_И + v_Н$. Следовательно, за 1 час они выполняют $\frac{1}{20}$ всей работы.
$v_И + v_Н = \frac{1}{20}$

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} v_И + v_П = \frac{1}{21} \\ v_П + v_Н = \frac{1}{28} \\ v_И + v_Н = \frac{1}{20} \end{cases}$

Чтобы найти, за какое время они вспашут поле, работая втроем, нам нужно найти их общую производительность $v_И + v_П + v_Н$. Для этого сложим все три уравнения системы:

$(v_И + v_П) + (v_П + v_Н) + (v_И + v_Н) = \frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{20}$

Сгруппируем переменные в левой части:

$2v_И + 2v_П + 2v_Н = \frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{20}$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(v_И + v_П + v_Н) = \frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{20}$

Теперь вычислим сумму дробей в правой части. Для этого найдем их наименьший общий знаменатель. Разложим знаменатели на простые множители:

$21 = 3 \cdot 7$
$28 = 2^2 \cdot 7$
$20 = 2^2 \cdot 5$
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 21, 28 и 20 будет:
НОК(21, 28, 20) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.

Приведем дроби к общему знаменателю 420:

$\frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 20}{420} + \frac{1 \cdot 15}{420} + \frac{1 \cdot 21}{420} = \frac{20+15+21}{420} = \frac{56}{420}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 56 и 420 равен 28.
$\frac{56}{420} = \frac{56 \div 28}{420 \div 28} = \frac{2}{15}$

Теперь вернемся к нашему уравнению с удвоенной производительностью:

$2(v_И + v_П + v_Н) = \frac{2}{15}$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти общую производительность трех трактористов:

$v_И + v_П + v_Н = \frac{2}{15} \div 2 = \frac{2}{15 \cdot 2} = \frac{1}{15}$

Таким образом, работая вместе, три тракториста за 1 час вспахивают $\frac{1}{15}$ часть поля.

Чтобы найти общее время $T$, за которое они вспашут все поле (то есть выполнят работу, равную 1), нужно разделить всю работу на их общую производительность:

$T = \frac{1}{v_И + v_П + v_Н} = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15$ часов.

Ответ: 15 часов.