Номер 1037, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1037, страница 192.

Условие.

1037. Функция $f$ задана описательно: значение функции равно наибольшему целому числу, которое не превышает соответствующее значение аргумента. Постройте график этой функции.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Функция $f$, описанная в задаче, ставит в соответствие каждому числу $x$ наибольшее целое число, которое не превышает $x$. Эта функция называется «целая часть числа» или «антье» (от фр. entier — «целый») и стандартно обозначается как $y = [x]$ или $y = \lfloor x \rfloor$. Таким образом, мы имеем дело с функцией $f(x) = [x]$.

По определению, значение функции $f(x)$ равно целому числу $n$ для всех значений аргумента $x$, удовлетворяющих неравенству $n \le x < n+1$.

Рассмотрим, как это работает на конкретных примерах:
- Если $x = 2.7$, то наибольшее целое число, не превышающее $2.7$, — это $2$. Следовательно, $f(2.7) = 2$.
- Если $x = 3$ (целое число), то наибольшее целое число, не превышающее $3$, — это само число $3$. Следовательно, $f(3) = 3$.
- Если $x = 0.5$, то $f(0.5) = 0$.
- Если $x = -0.4$, то целые числа, которые не превышают $-0.4$, это $-1, -2, -3, \dots$. Наибольшее из них — это $-1$. Следовательно, $f(-0.4) = -1$.
- Если $x = -2$, то $f(-2) = -2$.

Для построения графика функции разобьем числовую ось на промежутки вида $[n, n+1)$, где $n$ — любое целое число. На каждом таком промежутке функция будет принимать постоянное значение, равное $n$.

Построим график по частям:
- На промежутке $[-2, -1)$, то есть для всех $x$ таких, что $-2 \le x < -1$, значение функции $f(x) = -2$. Графиком на этом участке является горизонтальный отрезок прямой $y = -2$ с началом в точке $(-2, -2)$ и концом в точке $(-1, -2)$.
- На промежутке $[-1, 0)$, то есть для $-1 \le x < 0$, значение функции $f(x) = -1$. График — отрезок прямой $y = -1$ от точки $(-1, -1)$ до $(-1, 0)$.
- На промежутке $[0, 1)$, то есть для $0 \le x < 1$, значение функции $f(x) = 0$. График — отрезок прямой $y = 0$ от точки $(0, 0)$ до $(1, 0)$.
- На промежутке $[1, 2)$, то есть для $1 \le x < 2$, значение функции $f(x) = 1$. График — отрезок прямой $y = 1$ от точки $(1, 1)$ до $(2, 1)$.
- На промежутке $[2, 3)$, то есть для $2 \le x < 3$, значение функции $f(x) = 2$. График — отрезок прямой $y = 2$ от точки $(2, 2)$ до $(3, 2)$.

Продолжая таким образом, мы видим, что график состоит из бесконечного набора горизонтальных отрезков. Каждый отрезок соответствует промежутку $[n, n+1)$ и расположен на высоте $y=n$. Левая точка каждого отрезка, $(n, n)$, принадлежит графику (на чертеже ее отмечают закрашенным кружком), так как $f(n) = n$. Правая точка, $(n+1, n)$, не принадлежит графику (ее отмечают выколотым или пустым кружком), так как $f(n+1) = n+1$, а не $n$.

В результате получается график, имеющий характерный ступенчатый вид. Его называют графиком функции «целая часть числа» или «ступенчатой функцией».

Ответ: График функции представляет собой совокупность горизонтальных отрезков единичной длины. Для каждого целого числа $n$ на полуинтервале $[n, n+1)$ график функции совпадает с отрезком прямой $y=n$. Левая конечная точка каждого такого отрезка, имеющая координаты $(n, n)$, принадлежит графику, а правая конечная точка, $(n+1, n)$, — не принадлежит. График имеет вид «лесенки», поднимающейся слева направо.