Номер 1030, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1030, страница 191.

Условие.

1030. Функция задана формулой $y = 4 - x^2$, где $-3 \le x \le 2$.

1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких – больше нуля.

4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

Дана функция $y = 4 - x^2$ на отрезке $x \in [-3, 2]$. Чтобы составить таблицу значений с шагом 1, подставим в формулу целые значения $x$ от -3 до 2.

• При $x = -3$: $y = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5$
• При $x = -2$: $y = 4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0$
• При $x = -1$: $y = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$
• При $x = 0$: $y = 4 - (0)^2 = 4 - 0 = 4$
• При $x = 1$: $y = 4 - (1)^2 = 4 - 1 = 3$
• При $x = 2$: $y = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0$

Сведем полученные результаты в таблицу:

x	-3	-2	-1	0	1	2
y	-5	0	3	4	3	0

Ответ: Таблица значений составлена.

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

Для построения графика нанесем на координатную плоскость точки из составленной таблицы: $(-3, -5)$, $(-2, 0)$, $(-1, 3)$, $(0, 4)$, $(1, 3)$, $(2, 0)$. Далее соединим эти точки плавной линией. Функция $y = 4 - x^2$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$. Поскольку функция задана на отрезке $[-3, 2]$, график будет представлять собой не всю параболу, а лишь ее часть, ограниченную точками, соответствующими концам отрезка.

Ответ: График функции представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(0, 4)$ и концами в точках $(-3, -5)$ и $(2, 0)$.

3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше нуля.

Проанализируем построенный график функции:

• Значения функции больше нуля ($y > 0$) соответствуют той части графика, которая расположена выше оси абсцисс (оси Ox). График пересекает ось Ox в точках $x = -2$ и $x = 2$. Между этими точками график находится выше оси. Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-2, 2)$.
• Значения функции меньше нуля ($y < 0$) соответствуют той части графика, которая расположена ниже оси абсцисс. На заданном отрезке $[-3, 2]$ это происходит для значений $x$ от -3 до -2. При $x = -3$ значение функции равно -5, а при $x = -2$ — нулю. Таким образом, $y < 0$ при $x \in [-3, -2)$.

Ответ: Значения функции больше нуля при $-2 < x < 2$; значения функции меньше нуля при $-3 \le x < -2$.

4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции.

Область значений функции (множество всех значений $y$) можно определить, найдя самую низкую и самую высокую точки на графике в пределах заданной области определения $x \in [-3, 2]$.

• Самая высокая точка графика — это его вершина, точка $(0, 4)$. Значит, максимальное значение функции равно 4.
• Самая низкая точка на данном участке графика — это левый конец дуги, точка $(-3, -5)$. Значит, минимальное значение функции на этом отрезке равно -5.

Функция непрерывна, поэтому она принимает все значения между своим минимумом и максимумом.

Ответ: Область значений функции: $y \in [-5, 4]$.