Номер 1027, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1027, страница 191.

Условие.

1027. Может ли ломаная $ABC$ быть графиком некоторой функции, если:

1) $A (-4; -1)$, $B (1; 2)$, $C (2; 4)$;

2) $A (-4; -1)$, $B (1; 2)$, $C (1; 3)$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) A (-4; -1), B (1; 2), C (2; 4)

Для того чтобы ломаная линия была графиком функции, необходимо и достаточно, чтобы каждому значению абсциссы (координаты $x$) из области определения соответствовало единственное значение ординаты (координаты $y$). Это свойство также известно как "тест вертикальной прямой": любая вертикальная прямая должна пересекать график не более чем в одной точке.

Рассмотрим вершины ломаной $ABC$: $A(-4; -1)$, $B(1; 2)$, $C(2; 4)$. Абсциссы (координаты $x$) этих точек: $x_A = -4$, $x_B = 1$, $x_C = 2$. Все абсциссы вершин различны и идут в порядке возрастания: $x_A < x_B < x_C$.

Ломаная состоит из двух отрезков: $AB$ и $BC$. Область определения для ломаной $ABC$ — это объединение отрезков абсцисс $[-4, 1]$ и $[1, 2]$, то есть отрезок $[-4, 2]$.

Для любого значения $x$ из полуинтервала $[-4, 1)$ на ломаной существует единственная точка (на отрезке $AB$). Для любого значения $x$ из полуинтервала $(1, 2]$ на ломаной существует единственная точка (на отрезке $BC$). В точке $x = 1$ оба отрезка ($AB$ и $BC$) сходятся в общей вершине $B(1; 2)$. Таким образом, значению $x=1$ соответствует единственное значение $y=2$.

Поскольку для каждого значения $x$ из области определения $[-4, 2]$ существует ровно одно значение $y$, данная ломаная является графиком некоторой функции.

Ответ: Да, может.

2) A (-4; -1), B (1; 2), C (1; 3)

Воспользуемся определением функции: каждому значению аргумента $x$ должно соответствовать единственное значение функции $y$.

Рассмотрим вершины ломаной $ABC$: $A(-4; -1)$, $B(1; 2)$, $C(1; 3)$. Абсциссы точек $B$ и $C$ одинаковы: $x_B = 1$ и $x_C = 1$. При этом их ординаты различны: $y_B = 2$ и $y_C = 3$.

Это означает, что на ломаной есть как минимум две точки, $B(1; 2)$ и $C(1; 3)$, с одной и той же абсциссой $x=1$, но разными ординатами. Таким образом, одному значению аргумента $x=1$ соответствуют два разных значения функции: $y=2$ и $y=3$.

Более того, отрезок $BC$, соединяющий точки $B(1; 2)$ и $C(1; 3)$, является вертикальным отрезком. Все его точки имеют абсциссу $x=1$ и ординаты из отрезка $[2, 3]$. Следовательно, значению $x=1$ соответствует бесконечно много значений $y$.

Это противоречит определению функции. Геометрически, вертикальная прямая $x=1$ пересекает ломаную во всех точках отрезка $BC$.

Ответ: Нет, не может.