Номер 1026, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1026, страница 191.

Условие.

1026.Графиком некоторой функции является ломаная ABCD с вершинами в точках A $(-3; 6)$, B $(-1; 2)$, C $(3; -2)$, D $(9; 0)$.

1) Постройте график данной функции.

2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: $-2; 0; 2; 6$.

3) Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно: $1; -1; 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Постройте график данной функции.

График функции представляет собой ломаную линию ABCD. Для его построения нужно выполнить следующие шаги:

1. Начертить систему координат с осями Ox (ось абсцисс) и Oy (ось ординат).
2. Отметить на координатной плоскости точки с заданными координатами: A(-3; 6), B(-1; 2), C(3; -2), D(9; 0).
3. Последовательно соединить отрезками прямых точки A и B, затем B и C, и наконец C и D.

Полученная ломаная линия, состоящая из трех отрезков AB, BC и CD, является графиком данной функции. Область определения этой функции (все возможные значения аргумента x) — это отрезок от -3 до 9, то есть $x \in [-3, 9]$. Область значений функции (все возможные значения y) — отрезок от -2 до 6, то есть $y \in [-2, 6]$.

2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: -2; 0; 2; 6.

Чтобы найти значение функции (y) для заданного значения аргумента (x), необходимо сначала определить, на каком из отрезков ломаной (AB, BC или CD) находится точка с данной абсциссой. Для этого найдем уравнения прямых, которым принадлежат эти отрезки.

Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.

• Отрезок AB с концами в точках A(-3; 6) и B(-1; 2). Аргумент $x$ изменяется в пределах от -3 до -1.

  Найдем угловой коэффициент: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 6}{-1 - (-3)} = \frac{-4}{2} = -2$.

  Подставим координаты точки B в уравнение $y = -2x + b$: $2 = -2(-1) + b \Rightarrow 2 = 2 + b \Rightarrow b = 0$.

  Уравнение для отрезка AB: $y = -2x$ при $x \in [-3, -1]$.

• Отрезок BC с концами в точках B(-1; 2) и C(3; -2). Аргумент $x$ изменяется в пределах от -1 до 3.

  Найдем угловой коэффициент: $k = \frac{-2 - 2}{3 - (-1)} = \frac{-4}{4} = -1$.

  Подставим координаты точки B в уравнение $y = -x + b$: $2 = -(-1) + b \Rightarrow 2 = 1 + b \Rightarrow b = 1$.

  Уравнение для отрезка BC: $y = -x + 1$ при $x \in [-1, 3]$.

• Отрезок CD с концами в точках C(3; -2) и D(9; 0). Аргумент $x$ изменяется в пределах от 3 до 9.

  Найдем угловой коэффициент: $k = \frac{0 - (-2)}{9 - 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

  Подставим координаты точки D в уравнение $y = \frac{1}{3}x + b$: $0 = \frac{1}{3}(9) + b \Rightarrow 0 = 3 + b \Rightarrow b = -3$.

  Уравнение для отрезка CD: $y = \frac{1}{3}x - 3$ при $x \in [3, 9]$.

Теперь найдем значения функции для заданных аргументов:

• При $x = -2$: это значение принадлежит промежутку $[-3, -1]$, используем формулу для отрезка AB: $y = -2(-2) = 4$.
• При $x = 0$: это значение принадлежит промежутку $[-1, 3]$, используем формулу для отрезка BC: $y = -0 + 1 = 1$.
• При $x = 2$: это значение принадлежит промежутку $[-1, 3]$, используем формулу для отрезка BC: $y = -2 + 1 = -1$.
• При $x = 6$: это значение принадлежит промежутку $[3, 9]$, используем формулу для отрезка CD: $y = \frac{1}{3}(6) - 3 = 2 - 3 = -1$.

Ответ: если $x = -2$, то $y = 4$; если $x = 0$, то $y = 1$; если $x = 2$, то $y = -1$; если $x = 6$, то $y = -1$.

3) Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно: 1; -1; 0.

Для нахождения значения аргумента (x) по известному значению функции (y) будем использовать полученные ранее уравнения для каждого отрезка.

• Найдем $x$, при котором $y=1$.

  1. Отрезок AB ($y = -2x$): $1 = -2x \Rightarrow x = -0.5$. Это значение не принадлежит промежутку $x \in [-3, -1]$.

  2. Отрезок BC ($y = -x + 1$): $1 = -x + 1 \Rightarrow x = 0$. Это значение принадлежит промежутку $x \in [-1, 3]$. Следовательно, $x=0$ является решением.

  3. Отрезок CD ($y = \frac{1}{3}x - 3$): $1 = \frac{1}{3}x - 3 \Rightarrow 4 = \frac{1}{3}x \Rightarrow x = 12$. Это значение не принадлежит промежутку $x \in [3, 9]$.

  Таким образом, $y=1$ при $x=0$.

• Найдем $x$, при котором $y=-1$.

  1. Отрезок AB (значения y от 2 до 6): на этом отрезке функция не может быть равна -1.

  2. Отрезок BC ($y = -x + 1$): $-1 = -x + 1 \Rightarrow x = 2$. Это значение принадлежит промежутку $x \in [-1, 3]$. Следовательно, $x=2$ является решением.

  3. Отрезок CD ($y = \frac{1}{3}x - 3$): $-1 = \frac{1}{3}x - 3 \Rightarrow 2 = \frac{1}{3}x \Rightarrow x = 6$. Это значение принадлежит промежутку $x \in [3, 9]$. Следовательно, $x=6$ является решением.

  Таким образом, $y=-1$ при $x=2$ и $x=6$.

• Найдем $x$, при котором $y=0$.

  1. Отрезок AB (значения y от 2 до 6): на этом отрезке функция не может быть равна 0.

  2. Отрезок BC ($y = -x + 1$): $0 = -x + 1 \Rightarrow x = 1$. Это значение принадлежит промежутку $x \in [-1, 3]$. Следовательно, $x=1$ является решением.

  3. Отрезок CD ($y = \frac{1}{3}x - 3$): $0 = \frac{1}{3}x - 3 \Rightarrow 3 = \frac{1}{3}x \Rightarrow x = 9$. Это значение принадлежит промежутку $x \in [3, 9]$. Следовательно, $x=9$ является решением.

  Таким образом, $y=0$ при $x=1$ и $x=9$.

Ответ: значение функции равно 1 при $x=0$; значение функции равно -1 при $x=2$ и $x=6$; значение функции равно 0 при $x=1$ и $x=9$.