Номер 1028, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1028, страница 191.

Условие.

1028.Графиком некоторой функции является ломаная $MKE$, где $M (-4; 1)$, $K (2; 4)$, $E (5; -2)$.

1) Постройте график данной функции.

2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: -2; 0; 3.

3) Найдите значение $x$, при котором $y = -2; 0; 2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Постройте график данной функции.

Графиком функции является ломаная линия, состоящая из двух отрезков: MK и KE. Чтобы построить график, нужно выполнить следующие шаги: 1. Начертить систему координат с осями Ox и Oy. 2. Отметить на координатной плоскости точки с заданными координатами: M(-4; 1), K(2; 4) и E(5; -2). 3. Соединить точку M с точкой K прямолинейным отрезком. 4. Соединить точку K с точкой E прямолинейным отрезком. Полученная в результате этих построений ломаная MKE и является графиком данной функции. Область определения функции (допустимые значения аргумента x) — это отрезок от -4 до 5, то есть $x \in [-4, 5]$.

2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: -2; 0; 3.

Для нахождения значений функции (y) при заданных значениях аргумента (x), необходимо сначала определить аналитическое задание функции, то есть найти уравнения для каждого отрезка ломаной.

Уравнение для отрезка MK, концами которого служат точки M(-4; 1) и K(2; 4). Используем уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $ Подставляем координаты точек M и K: $ \frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{x - (-4)}{2 - (-4)} $
$ \frac{y - 1}{3} = \frac{x + 4}{6} $
Умножим обе части на 3: $ y - 1 = \frac{x + 4}{2} $
$ y - 1 = \frac{1}{2}x + 2 $
$ y = \frac{1}{2}x + 3 $, данное уравнение справедливо для $x \in [-4, 2]$.

Уравнение для отрезка KE, концами которого служат точки K(2; 4) и E(5; -2). Подставляем координаты точек K и E в то же уравнение прямой: $ \frac{y - 4}{-2 - 4} = \frac{x - 2}{5 - 2} $
$ \frac{y - 4}{-6} = \frac{x - 2}{3} $
Умножим обе части на -6: $ y - 4 = -2(x - 2) $
$ y - 4 = -2x + 4 $
$ y = -2x + 8 $, данное уравнение справедливо для $x \in [2, 5]$.

Теперь, имея уравнения, найдем значения функции для заданных аргументов:
- При $x = -2$: это значение принадлежит отрезку $[-4, 2]$, поэтому используем первую формулу $y = \frac{1}{2}x + 3$.
$y = \frac{1}{2}(-2) + 3 = -1 + 3 = 2$.
- При $x = 0$: это значение также принадлежит отрезку $[-4, 2]$, поэтому используем первую формулу $y = \frac{1}{2}x + 3$.
$y = \frac{1}{2}(0) + 3 = 0 + 3 = 3$.
- При $x = 3$: это значение принадлежит отрезку $[2, 5]$, поэтому используем вторую формулу $y = -2x + 8$.
$y = -2(3) + 8 = -6 + 8 = 2$.

Ответ: при $x = -2$, $y = 2$; при $x = 0$, $y = 3$; при $x = 3$, $y = 2$.

3) Найдите значение x, при котором y = -2; 0; 2.

Для нахождения значений аргумента (x) по заданным значениям функции (y), будем использовать полученные ранее уравнения, подставляя в них заданные значения y.

- При $y = -2$:
Сначала определим, на каком отрезке функция может принимать такое значение. На отрезке MK значения y изменяются от 1 до 4. Значение $y = -2$ сюда не входит. На отрезке KE значения y изменяются от 4 до -2. Значит, искомая точка лежит на отрезке KE. Используем уравнение $y = -2x + 8$:
$ -2 = -2x + 8 $
$ 2x = 8 + 2 $
$ 2x = 10 $
$ x = 5 $. Это значение соответствует абсциссе точки E и входит в отрезок $[2, 5]$.

- При $y = 0$:
Аналогично, значение $y=0$ не попадает в диапазон [1, 4] отрезка MK. Следовательно, точка находится на отрезке KE. Используем уравнение $y = -2x + 8$:
$ 0 = -2x + 8 $
$ 2x = 8 $
$ x = 4 $. Это значение входит в отрезок $[2, 5]$.

- При $y = 2$:
Значение $y=2$ попадает в диапазон значений обоих отрезков (и в [1, 4], и в [-2, 4]), поэтому необходимо проверить оба уравнения.
1. Для отрезка MK ($x \in [-4, 2]$), используем $y = \frac{1}{2}x + 3$:
$ 2 = \frac{1}{2}x + 3 $
$ \frac{1}{2}x = 2 - 3 $
$ \frac{1}{2}x = -1 $
$ x = -2 $. Это значение входит в отрезок $[-4, 2]$.
2. Для отрезка KE ($x \in [2, 5]$), используем $y = -2x + 8$:
$ 2 = -2x + 8 $
$ 2x = 8 - 2 $
$ 2x = 6 $
$ x = 3 $. Это значение входит в отрезок $[2, 5]$.
Таким образом, функция принимает значение $y=2$ при двух значениях аргумента.

Ответ: при $y = -2$, $x = 5$; при $y = 0$, $x = 4$; при $y = 2$, $x = -2$ или $x = 3$.