Номер 1029, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1029, страница 191.

Условие.

1029. Функция задана формулой $y = x^2 - 1$, где $-2 \le x \le 3$.

1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких – больше нуля.

4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

Дана функция $y = x^2 - 1$ на отрезке $[-2, 3]$. Для составления таблицы значений с шагом 1, необходимо вычислить значения функции $y$ для каждого целого значения аргумента $x$ из данного отрезка.

• При $x = -2$: $y = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
• При $x = -1$: $y = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
• При $x = 0$: $y = (0)^2 - 1 = 0 - 1 = -1$
• При $x = 1$: $y = (1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
• При $x = 2$: $y = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
• При $x = 3$: $y = (3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$

Сведем полученные результаты в таблицу:

$x$	$y = x^2 - 1$
-2	3
-1	0
0	-1
1	0
2	3
3	8

Ответ: Таблица значений функции составлена выше.

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

Графиком функции $y = x^2 - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -1)$. Мы строим эту параболу на отрезке $x \in [-2, 3]$. Для построения графика начертим систему координат, отметим на ней точки из таблицы, вычисленные в пункте 1, а затем соединим их плавной линией, учитывая, что это часть параболы.

Ответ: График функции построен на рисунке выше.

3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше нуля.

Анализируя построенный график, определим, при каких значениях аргумента $x$ значения функции $y$ положительны или отрицательны.

Значения функции меньше нуля ($y < 0$):
Это происходит на тех участках, где график функции расположен ниже оси абсцисс ($Ox$). Из графика видно, что парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -1$ и $x = 1$ и находится ниже оси между этими точками.
Следовательно, $y < 0$ при $-1 < x < 1$.

Значения функции больше нуля ($y > 0$):
Это происходит на тех участках, где график функции расположен выше оси абсцисс ($Ox$). Учитывая область определения $x \in [-2, 3]$, получаем два интервала:
1. На отрезке от $x = -2$ до точки пересечения $x = -1$. То есть, при $-2 \le x < -1$.
2. От точки пересечения $x = 1$ до конца отрезка $x = 3$. То есть, при $1 < x \le 3$.

Ответ: значения функции меньше нуля при $x \in (-1, 1)$; значения функции больше нуля при $x \in [-2, -1) \cup (1, 3]$.

4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции.

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает $y$ на заданной области определения. На графике это соответствует проекции кривой на ось ординат ($Oy$).

Для нахождения области значений необходимо определить наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке $x \in [-2, 3]$.
Из графика видно, что наименьшее значение функция достигает в своей вершине, которая находится в точке $(0, -1)$. Это значение $y_{min} = -1$.
Наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка. Сравним значения $y$ в граничных точках $x=-2$ и $x=3$:
$y(-2) = 3$
$y(3) = 8$
Наибольшим из них является $y_{max} = 8$.
Таким образом, функция принимает все значения от -1 до 8 включительно.

Ответ: область значений функции: $E(y) = [-1, 8]$, или $-1 \le y \le 8$.