Номер 1040, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1040, страница 192.

Условие.

1040. Докажите тождество:

1) $(4a^2+3)^2+(7-4a^2)^2-2(4a^2+3)(4a^2-7)=100;$

2) $(a^2-6ab+9b^2)(a^2+6ab+9b^2)-(a^2-9b^2)^2=0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(4a^2 + 3)^2 + (7 - 4a^2)^2 - 2(4a^2 + 3)(4a^2 - 7) = 100$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Заметим, что выражение $(4a^2 - 7)$ можно представить как $-(7 - 4a^2)$. Подставим это в исходное выражение:

$(4a^2 + 3)^2 + (7 - 4a^2)^2 - 2(4a^2 + 3)(-(7 - 4a^2)) = 100$

$(4a^2 + 3)^2 + (7 - 4a^2)^2 + 2(4a^2 + 3)(7 - 4a^2) = 100$

Полученное выражение в левой части представляет собой формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$, где $x = 4a^2 + 3$ и $y = 7 - 4a^2$.

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы:

$((4a^2 + 3) + (7 - 4a^2))^2 = 100$

Упростим выражение в скобках:

$(4a^2 + 3 + 7 - 4a^2)^2 = 100$

$(10)^2 = 100$

$100 = 100$

Левая часть тождественно равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) $(a^2 - 6ab + 9b^2)(a^2 + 6ab + 9b^2) - (a^2 - 9b^2)^2 = 0$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Рассмотрим первые два множителя.

Первый множитель $a^2 - 6ab + 9b^2$ является полным квадратом разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a - 3b)^2$.

Второй множитель $a^2 + 6ab + 9b^2$ является полным квадратом суммы: $a^2 + 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a + 3b)^2$.

Таким образом, произведение первых двух множителей можно записать как:

$(a - 3b)^2 (a + 3b)^2$

Используя свойство степеней $(xy)^n = x^n y^n$, объединим основания:

$((a - 3b)(a + 3b))^2$

Выражение в скобках является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$(a^2 - (3b)^2)^2 = (a^2 - 9b^2)^2$

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного тождества:

$(a^2 - 9b^2)^2 - (a^2 - 9b^2)^2 = 0$

$0 = 0$

Левая часть тождественно равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.