Номер 1042, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1042, страница 192.

Условие.

1042. Найдите какие-нибудь три натуральных значения переменной $x$ таких, чтобы выражение $a^2 - 2x$ можно было разложить на множители по формуле разности квадратов. Полученные выражения разложите на множители.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы выражение $a^2 - 2x$ можно было разложить на множители по формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, необходимо, чтобы член $2x$ представлял собой полный квадрат некоторого числа или выражения.

Пусть $2x = k^2$. Поскольку по условию задачи $x$ — натуральное число, $2x$ должно быть чётным числом. Если квадрат числа ($k^2$) является чётным, то и само число ($k$) также должно быть чётным. Представим $k$ в виде $k = 2n$, где $n$ — любое натуральное число ($n = 1, 2, 3, \ldots$).

Тогда $2x = (2n)^2 = 4n^2$. Из этого уравнения находим выражение для $x$:

$x = \frac{4n^2}{2} = 2n^2$

Теперь мы можем найти три требуемых натуральных значения $x$, выбрав три любых натуральных значения для $n$.

1.

Возьмем $n=1$. Тогда значение $x$ будет: $x = 2 \cdot 1^2 = 2$.

Подставим это значение в исходное выражение: $a^2 - 2(2) = a^2 - 4$.

Разложим полученное выражение на множители, используя формулу разности квадратов:

$a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$.

Ответ: при $x=2$ выражение раскладывается как $a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$.

2.

Возьмем $n=2$. Тогда значение $x$ будет: $x = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$.

Подставим это значение в исходное выражение: $a^2 - 2(8) = a^2 - 16$.

Разложим полученное выражение на множители:

$a^2 - 16 = a^2 - 4^2 = (a - 4)(a + 4)$.

Ответ: при $x=8$ выражение раскладывается как $a^2 - 16 = (a-4)(a+4)$.

3.

Возьмем $n=3$. Тогда значение $x$ будет: $x = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.

Подставим это значение в исходное выражение: $a^2 - 2(18) = a^2 - 36$.

Разложим полученное выражение на множители:

$a^2 - 36 = a^2 - 6^2 = (a - 6)(a + 6)$.

Ответ: при $x=18$ выражение раскладывается как $a^2 - 36 = (a-6)(a+6)$.