Номер 1046, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1046, страница 193.

Условие.

1046. Из квадратного листа бумаги в клетку, содержащего целое количество клеток, вырезали по линиям квадрат, содержащий целое количество клеток, так, что осталась 71 клетка. Сколько клеток содержал исходный лист бумаги?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть сторона исходного квадратного листа бумаги равна N клеток, а сторона вырезанного квадрата — M клеток. Поскольку и лист, и вырезанный квадрат содержат целое количество клеток, то N и M являются натуральными числами.

Количество клеток в исходном листе (его площадь) составляет $N^2$. Количество клеток в вырезанном квадрате (его площадь) составляет $M^2$. По условию, из большего квадрата вырезают меньший, значит $N > M$.

После вырезания квадрата осталась 71 клетка. Это означает, что разность между количеством клеток исходного листа и количеством клеток вырезанного квадрата равна 71. Мы можем составить следующее уравнение:

$N^2 - M^2 = 71$

Левую часть этого уравнения можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Применив ее, получаем:

$(N - M)(N + M) = 71$

Так как N и M — натуральные числа, то выражения $(N - M)$ и $(N + M)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 71, следовательно, они являются делителями числа 71.

Число 71 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя. Значит, его натуральными делителями являются только числа 1 и 71.

Поскольку N и M — натуральные числа и $N > M$, то множитель $(N - M)$ является положительным целым числом. Множитель $(N + M)$ также является положительным целым числом. Кроме того, очевидно, что $(N + M) > (N - M)$. Исходя из этого, существует только одна возможная комбинация множителей:

$N - M = 1$
$N + M = 71$

Мы получили систему из двух линейных уравнений. Для ее решения сложим оба уравнения:

$(N - M) + (N + M) = 1 + 71$

$2N = 72$

$N = \frac{72}{2} = 36$

Теперь подставим найденное значение N в любое из уравнений, например, во второе:

$36 + M = 71$

$M = 71 - 36$

$M = 35$

Таким образом, сторона исходного листа бумаги была равна 36 клеткам, а сторона вырезанного квадрата — 35 клеткам.

В задаче спрашивается, сколько клеток содержал исходный лист бумаги. Для этого нужно найти площадь исходного квадрата, то есть возвести в квадрат длину его стороны N:

Количество клеток = $N^2 = 36^2 = 1296$.

Ответ: 1296.