Номер 1041, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1041, страница 192.

Условие.

1041. Докажите, что при любом нечётном значении n значение выражения $(4n + 1)^2 - (n + 4)^2$ кратно 120.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства сперва упростим данное выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$(4n + 1)^2 - (n + 4)^2 = ((4n + 1) - (n + 4)) \cdot ((4n + 1) + (n + 4))$

$= (4n + 1 - n - 4) \cdot (4n + 1 + n + 4)$

$= (3n - 3) \cdot (5n + 5)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$= 3(n - 1) \cdot 5(n + 1) = 15(n - 1)(n + 1)$

Теперь проанализируем полученное выражение с учётом того, что $n$ — нечётное число по условию.

Если $n$ — нечётное, то числа $(n - 1)$ и $(n + 1)$ являются двумя последовательными чётными числами.

Нам нужно доказать, что выражение $15(n - 1)(n + 1)$ кратно 120. Поскольку $120 = 15 \cdot 8$, нам достаточно доказать, что произведение $(n - 1)(n + 1)$ кратно 8.

Рассмотрим произведение двух последовательных чётных чисел. Пусть первое чётное число равно $2k$, где $k$ — целое число. Тогда следующее за ним чётное число будет $2k+2$. Их произведение равно:

$2k \cdot (2k + 2) = 4k(k + 1)$.

Произведение $k(k+1)$ — это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из них обязательно чётное, поэтому их произведение $k(k+1)$ всегда делится на 2. Пусть $k(k+1) = 2m$ для некоторого целого числа $m$.

Тогда произведение двух последовательных чётных чисел равно $4 \cdot (2m) = 8m$, что доказывает его делимость на 8.

Так как $(n-1)$ и $(n+1)$ — это два последовательных чётных числа, их произведение $(n-1)(n+1)$ делится на 8. Значит, его можно представить в виде $8m$, где $m$ — целое число.

Подставим это в наше выражение:

$15(n - 1)(n + 1) = 15 \cdot (8m) = 120m$.

Поскольку $m$ — целое число, выражение $120m$ всегда делится на 120. Таким образом, мы доказали, что при любом нечётном значении $n$ значение выражения $(4n + 1)^2 - (n + 4)^2$ кратно 120.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $(4n + 1)^2 - (n + 4)^2$ равно $15(n-1)(n+1)$. При нечётном $n$ сомножители $(n-1)$ и $(n+1)$ являются последовательными чётными числами, их произведение делится на 8. Следовательно, всё выражение делится на $15 \cdot 8 = 120$.