Номер 1086, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Линейная функция, её график и свойства. Глава 2. Функции - номер 1086, страница 202.

Условие.

1086. Один из графиков, изображённых на рисунке 59, отображает процесс наполнения одного бака водой, а другой — вытекания воды из другого бака.

1) Каким процессам соответствуют графики на рисунке 59?

2) Сколько воды было сначала в каждом баке?

3) Сколько воды было в каждом баке: через 2 мин после открытия кранов; через 6 мин?

4) Через сколько минут после открытия кранов в каждом баке было по 30 л воды?

5) Сколько литров воды каждую минуту наливается в один бак и сколько выливается из другого?

6) Задайте формулой зависимость количества воды в каждом баке от времени.

Рис. 59

a

$y$, л

$x$, мин

б

$y$, л

$x$, мин

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Каким процессам соответствуют графики на рисунке 59?
График 'а' показывает, как количество воды в баке со временем уменьшается. В начальный момент времени ($x=0$) в баке было 50 литров, а через 10 минут ($x=10$) бак стал пустым ($y=0$). Следовательно, этот график описывает процесс вытекания воды из бака.
График 'б' показывает, как количество воды в баке со временем увеличивается. В начальный момент ($x=0$) в баке было 10 литров, а с течением времени объем воды растет. Следовательно, этот график описывает процесс наполнения бака водой.
Ответ: график 'а' соответствует процессу вытекания воды, а график 'б' — процессу наполнения.

2) Сколько воды было сначала в каждом баке?
Чтобы определить начальное количество воды, нужно посмотреть на значение $y$ (объем воды) при $x=0$ (начальный момент времени) на каждом графике.
На графике 'а' при $x=0$, $y=50$.
На графике 'б' при $x=0$, $y=10$.
Ответ: в баке 'а' сначала было 50 л воды, в баке 'б' — 10 л воды.

3) Сколько воды было в каждом баке: через 2 мин после открытия кранов; через 6 мин?
Чтобы найти количество воды в определенный момент времени, нужно найти на оси $x$ нужное значение времени и посмотреть, какому значению $y$ оно соответствует на графике.
Через 2 мин:
- Бак 'а': при $x=2$ мин, значение на графике $y=40$ л.
- Бак 'б': при $x=2$ мин, значение на графике $y=15$ л.
Через 6 мин:
- Бак 'а': при $x=6$ мин, значение на графике $y=20$ л.
- Бак 'б': при $x=6$ мин, значение на графике $y=25$ л.
Ответ: через 2 минуты в баке 'а' было 40 л, а в баке 'б' — 15 л; через 6 минут в баке 'а' было 20 л, а в баке 'б' — 25 л.

4) Через сколько минут после открытия кранов в каждом баке было по 30 л воды?
Чтобы найти время, когда в баке было определенное количество воды, нужно найти на оси $y$ значение 30 л и посмотреть, какому значению $x$ оно соответствует на каждом графике.
- Бак 'а': значение $y=30$ л достигается при $x=4$ мин.
- Бак 'б': значение $y=30$ л достигается при $x=8$ мин.
Ответ: в баке 'а' было 30 л через 4 минуты, а в баке 'б' — через 8 минут.

5) Сколько литров воды каждую минуту наливается в один бак и сколько выливается из другого?
Скорость изменения объема — это отношение изменения объема ко времени, за которое это изменение произошло.
- Для бака 'а' (вытекание): за 10 минут объем уменьшился на 50 л (с 50 до 0). Скорость вытекания: $\frac{50 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = 5$ л/мин.
- Для бака 'б' (наполнение): за 10 минут объем увеличился с 10 л до 35 л, то есть на $35 - 10 = 25$ л. Скорость наполнения: $\frac{25 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = 2.5$ л/мин.
Ответ: в бак 'б' каждую минуту наливается 2,5 л воды, а из бака 'а' выливается 5 л воды.

6) Задайте формулой зависимость количества воды в каждом баке от времени.
Зависимость количества воды ($y$) от времени ($x$) является линейной и может быть описана уравнением прямой $y = kx + b$, где $b$ — начальное количество воды (при $x=0$), а $k$ — скорость изменения объема (значение из предыдущего пункта).
- Для бака 'а' (вытекание): начальный объем $b=50$ л. Вода вытекает, поэтому скорость отрицательна: $k=-5$ л/мин. Формула: $y = -5x + 50$ или $y = 50 - 5x$.
- Для бака 'б' (наполнение): начальный объем $b=10$ л. Вода наливается, поэтому скорость положительна: $k=2.5$ л/мин. Формула: $y = 2.5x + 10$.
Ответ: для бака 'а' (вытекание) формула: $y = 50 - 5x$; для бака 'б' (наполнение) формула: $y = 2.5x + 10$.