Номер 1097, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Линейная функция, её график и свойства. Глава 2. Функции - номер 1097, страница 204.

Условие.

1097.Постройте график функции:

1) $y = x - |x|$;

2) $y = 3x + 2|x|$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы построить график функции $y = x - |x|$, необходимо раскрыть модуль. По определению модуля:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим два случая:

а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x - x = 0$.
Таким образом, для всех неотрицательных значений $x$ (то есть в первой и четвертой координатных четвертях, включая оси) график функции представляет собой луч, совпадающий с положительной частью оси Ox, включая начало координат.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = x - (-x) = x + x = 2x$.
Таким образом, для всех отрицательных значений $x$ (то есть во второй и третьей координатных четвертях) график функции совпадает с графиком прямой $y = 2x$. Это луч, исходящий из начала координат (точка (0,0) является предельной) и проходящий, например, через точку $(-1, -2)$, так как при $x=-1$, $y=2(-1)=-2$.

Объединяя оба случая, получаем график, состоящий из двух лучей, выходящих из точки $(0, 0)$.

Ответ: График функции $y = x - |x|$ состоит из двух лучей, исходящих из начала координат: луча $y = 2x$ при $x < 0$ и луча $y = 0$ при $x \ge 0$.

2) Чтобы построить график функции $y = 3x + 2|x|$, также раскроем модуль, рассмотрев два случая.

а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = 3x + 2x = 5x$.
Графиком является луч прямой $y = 5x$, выходящий из начала координат и расположенный в первой координатной четверти. Для построения можно взять точку, например, $(1, 5)$, так как при $x=1$, $y=5(1)=5$.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = 3x + 2(-x) = 3x - 2x = x$.
Графиком является луч прямой $y = x$, выходящий из начала координат и расположенный в третьей координатной четверти. Для построения можно взять точку, например, $(-2, -2)$, так как при $x=-2$, $y=-2$.

Объединяя оба случая, получаем "ломаную" линию, состоящую из двух лучей, с точкой "излома" в начале координат $(0, 0)$.

Ответ: График функции $y = 3x + 2|x|$ состоит из двух лучей, исходящих из начала координат: луча $y = x$ при $x < 0$ и луча $y = 5x$ при $x \ge 0$.