Номер 1094, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Линейная функция, её график и свойства. Глава 2. Функции - номер 1094, страница 204.

Условие.

1094.Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} x - 4, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x - 4, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 3x - 2, & \text{если } x \le 1 \\ 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

3) $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \ne 2 \\ 3, & \text{если } x = 2 \end{cases}$

4) $y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x < -1 \\ 1, & \text{если } x = -1 \\ x + 3, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Данная функция является кусочно-линейной. Её график состоит из двух частей (лучей), стыкующихся в точке с абсциссой $x=0$.
Первая часть графика — это график функции $y = x - 4$ при условии $x \ge 0$. Это луч, выходящий из точки на оси OY. Для построения найдем две точки:
- если $x = 0$, то $y = 0 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
- если $x = 4$, то $y = 4 - 4 = 0$. Точка $(4, 0)$.
Соединяем эти точки и продолжаем линию вправо и вверх. Начало луча в точке $(0, -4)$ (точка закрашенная, так как неравенство нестрогое).
Вторая часть графика — это график функции $y = -2x - 4$ при условии $x < 0$. Это луч, также подходящий к точке на оси OY. Для построения найдем две точки:
- граничная точка при $x = 0$ дает $y = -2(0) - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$ является началом луча, но не входит в него (так как неравенство строгое), поэтому она "выколотая". Однако, поскольку эта точка принадлежит первой части графика, то график в целом является непрерывным.
- если $x = -2$, то $y = -2(-2) - 4 = 4 - 4 = 0$. Точка $(-2, 0)$.
Проводим луч через точку $(-2, 0)$ до точки $(0, -4)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из одной точки $(0, -4)$. Первый луч для $x \ge 0$ проходит через точку $(4, 0)$, второй луч для $x < 0$ проходит через точку $(-2, 0)$.

2) Данная функция является кусочно-заданной. Её график состоит из двух частей, стыкующихся в точке с абсциссой $x=1$.
Первая часть графика — это график функции $y = 3x - 2$ при условии $x \le 1$. Это луч. Для его построения найдем две точки:
- если $x = 1$, то $y = 3(1) - 2 = 1$. Точка $(1, 1)$. Это конечная точка луча, она закрашенная.
- если $x = 0$, то $y = 3(0) - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
Проводим луч через точку $(0, -2)$ до точки $(1, 1)$.
Вторая часть графика — это график функции $y = 1$ при условии $x > 1$. Это горизонтальный луч, начинающийся от точки с абсциссой $x=1$.
- Начало луча находится в точке $(1, 1)$. Точка выколотая, так как неравенство строгое. Но так как эта точка принадлежит первой части графика, то разрыва нет.
- Луч параллелен оси OX и направлен вправо.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию. Для $x \le 1$ это луч, проходящий через точки $(0, -2)$ и $(1, 1)$. Для $x > 1$ это горизонтальный луч $y=1$, выходящий из точки $(1, 1)$ и идущий вправо.

3) Данная функция задана двумя условиями.
Первая часть $y = 2$ при $x \ne 2$. Графиком этой функции является горизонтальная прямая $y=2$, из которой удалена ("выколота") одна точка. Это точка, у которой абсцисса $x=2$, то есть точка $(2, 2)$.
Вторая часть $y = 3$ при $x = 2$. Это условие задает одну единственную точку на координатной плоскости. Координаты этой точки $(2, 3)$.

Ответ: График функции — это горизонтальная прямая $y=2$ с выколотой точкой $(2, 2)$ и отдельная точка с координатами $(2, 3)$.

4) Данная функция является кусочно-заданной и состоит из трёх частей, с точкой разрыва при $x=-1$.
Первая часть графика — это $y = 2x$ при $x < -1$. Это луч. Найдем его граничную точку:
- при $x \to -1$ (слева), $y \to 2(-1) = -2$. Точка $(-1, -2)$ выколотая.
- возьмем любую другую точку, например, $x = -3$, тогда $y = 2(-3) = -6$. Точка $(-3, -6)$.
Проводим луч через точку $(-3, -6)$, заканчивающийся в выколотой точке $(-1, -2)$.
Вторая часть графика — это $y = 1$ при $x = -1$. Это одна точка с координатами $(-1, 1)$.
Третья часть графика — это $y = x + 3$ при $x > -1$. Это луч. Найдем его начальную точку:
- при $x \to -1$ (справа), $y \to -1 + 3 = 2$. Точка $(-1, 2)$ выколотая.
- возьмем любую другую точку, например, $x=0$, тогда $y = 0+3=3$. Точка $(0, 3)$.
Проводим луч, начинающийся в выколотой точке $(-1, 2)$ и проходящий через точку $(0, 3)$.

Ответ: График состоит из трёх частей: 1) луч прямой $y=2x$ для $x < -1$ с выколотой конечной точкой $(-1, -2)$; 2) изолированная точка $(-1, 1)$; 3) луч прямой $y=x+3$ для $x > -1$ с выколотой начальной точкой $(-1, 2)$.