Страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1135.Постройте график уравнения:

1) $(x + 2)^2 + y^2 = 0;$

2) $|x| + (y - 3)^2 = 0;$

3) $(x + 1)(y - 1) = 0;$

4) $xy - 2y = 0.$

1) Рассмотрим уравнение $(x+2)^2 + y^2 = 0$.
Выражения $(x+2)^2$ и $y^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их значения всегда неотрицательны, то есть $(x+2)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:
$ \begin{cases} (x+2)^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases} $
Решая эту систему, получаем:
$ \begin{cases} x+2 = 0 \\ y = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -2 \\ y = 0 \end{cases} $
Таким образом, уравнение имеет единственное решение — пару чисел $(-2; 0)$. Графиком этого уравнения является одна точка на координатной плоскости.
Ответ: Графиком уравнения является точка с координатами $(-2; 0)$.

2) Рассмотрим уравнение $|x| + (y-3)^2 = 0$.
Выражение $|x|$ (модуль числа) и выражение $(y-3)^2$ (квадрат числа) всегда принимают неотрицательные значения: $|x| \ge 0$ и $(y-3)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю.
Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} |x| = 0 \\ (y-3)^2 = 0 \end{cases} $
Решаем систему:
$ \begin{cases} x = 0 \\ y-3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0 \\ y = 3 \end{cases} $
Уравнение имеет единственное решение — пару чисел $(0; 3)$. Графиком этого уравнения является точка на координатной плоскости.
Ответ: Графиком уравнения является точка с координатами $(0; 3)$.

3) Рассмотрим уравнение $(x+1)(y-1) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Следовательно, данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
$x+1=0$ или $y-1=0$.
Из первого уравнения получаем $x = -1$. Графиком этого уравнения является прямая, параллельная оси $Oy$ (оси ординат) и проходящая через точку $(-1; 0)$.
Из второго уравнения получаем $y = 1$. Графиком этого уравнения является прямая, параллельная оси $Ox$ (оси абсцисс) и проходящая через точку $(0; 1)$.
Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $x=-1$ и $y=1$.

4) Рассмотрим уравнение $xy - 2y = 0$.
Для решения вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(x - 2) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:
$y=0$ или $x-2=0$.
Уравнение $y=0$ задает ось абсцисс ($Ox$).
Уравнение $x-2=0$, или $x=2$, задает прямую, параллельную оси ординат ($Oy$) и проходящую через точку $(2; 0)$.
Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $y=0$ (ось $Ox$) и $x=2$.

1136. Постройте график уравнения:

1) $|x - 4| + |y - 4| = 0;$

2) $(x - 4)(y - 4) = 0;$

3) $xy + x = 0.$

1) $|x - 4| + |y - 4| = 0$

По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что $|x - 4| \ge 0$ и $|y - 4| \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} |x - 4| = 0 \\ |y - 4| = 0 \end{cases}$

Эта система, в свою очередь, равносильна системе:

$\begin{cases} x - 4 = 0 \\ y - 4 = 0 \end{cases}$

Решая её, получаем единственное решение:

$\begin{cases} x = 4 \\ y = 4 \end{cases}$

Таким образом, графиком данного уравнения является единственная точка на координатной плоскости.

Ответ: точка с координатами (4, 4).

2) $(x - 4)(y - 4) = 0$

Произведение двух выражений равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы одно из этих выражений равно нулю. Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 4 = 0$ или $y - 4 = 0$.

Из этой совокупности получаем:

$x = 4$ или $y = 4$.

Графиком уравнения $x = 4$ является вертикальная прямая, проходящая через точку (4, 0) и параллельная оси ординат (оси Oy).

Графиком уравнения $y = 4$ является горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 4) и параллельная оси абсцисс (оси Ox).

Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.

Ответ: пара пересекающихся прямых, заданных уравнениями $x=4$ и $y=4$.

3) $xy + x = 0$

Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(y + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$x = 0$ или $y + 1 = 0$.

Решая второе уравнение, получаем:

$x = 0$ или $y = -1$.

Графиком уравнения $x=0$ является ось ординат (ось Oy).

Графиком уравнения $y=-1$ является горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, -1) и параллельная оси абсцисс (оси Ox).

Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.

Ответ: пара пересекающихся прямых, заданных уравнениями $x=0$ (ось Oy) и $y=-1$.

1137. Найдите все пары $(x, y)$ натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения (решите уравнение в натуральных числах):

1) $2x + 3y = 5;$

2) $x + 5y = 16.$

1) $2x + 3y = 5$

По условию задачи, $x$ и $y$ являются натуральными числами, то есть $x \in \mathbb{N}$ и $y \in \mathbb{N}$. В российской математической традиции это означает, что $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Выразим одну переменную через другую из уравнения $2x + 3y = 5$. Удобнее выразить $x$, так как его коэффициент меньше:
$2x = 5 - 3y$
$x = \frac{5 - 3y}{2}$
Так как $x$ – натуральное число, должно выполняться условие $x \ge 1$. Следовательно:
$\frac{5 - 3y}{2} \ge 1$
Умножим обе части на 2:
$5 - 3y \ge 2$
Вычтем 5 из обеих частей:
$-3y \ge -3$
Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:
$y \le 1$
С другой стороны, мы знаем, что $y$ – натуральное число, поэтому $y \ge 1$.
Объединяя два условия, $y \ge 1$ и $y \le 1$, получаем единственно возможное значение для $y$: $y = 1$.
Теперь подставим это значение $y$ в выражение для $x$:
$x = \frac{5 - 3(1)}{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Получили пару чисел $(1, 1)$. Проверим, являются ли оба числа натуральными (да, являются) и удовлетворяют ли они исходному уравнению:
$2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5$.
Равенство выполняется. Так как мы нашли единственное возможное натуральное значение для $y$, то и решение является единственным.

Ответ: $(1, 1)$.

2) $x + 5y = 16$

Здесь $x$ и $y$ также натуральные числа, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Выразим $x$ из уравнения:
$x = 16 - 5y$
Так как $x$ – натуральное число, должно выполняться условие $x \ge 1$:
$16 - 5y \ge 1$
$15 \ge 5y$
$3 \ge y$ или $y \le 3$.
Поскольку $y$ – натуральное число, то $y \ge 1$. Таким образом, возможные натуральные значения для $y$ это $1, 2, 3$.
Рассмотрим каждый из этих случаев:
1. Если $y = 1$, то $x = 16 - 5(1) = 16 - 5 = 11$. $x=11$ – натуральное число. Получаем пару $(11, 1)$.
2. Если $y = 2$, то $x = 16 - 5(2) = 16 - 10 = 6$. $x=6$ – натуральное число. Получаем пару $(6, 2)$.
3. Если $y = 3$, то $x = 16 - 5(3) = 16 - 15 = 1$. $x=1$ – натуральное число. Получаем пару $(1, 3)$.
Если взять следующее натуральное число $y = 4$, то $x = 16 - 5(4) = 16 - 20 = -4$, что не является натуральным числом. Следовательно, других решений в натуральных числах нет.
Проверим все найденные пары, подставив их в исходное уравнение:
Для пары $(11, 1)$: $11 + 5(1) = 11 + 5 = 16$. Верно.
Для пары $(6, 2)$: $6 + 5(2) = 6 + 10 = 16$. Верно.
Для пары $(1, 3)$: $1 + 5(3) = 1 + 15 = 16$. Верно.
Все три пары являются решениями.

Ответ: $(11, 1)$, $(6, 2)$, $(1, 3)$.

1138. Найдите все пары $(x, y)$ целых чисел, являющиеся решениями уравнения $|x| + |y| = 2$ (решите уравнение в целых числах).

Для решения уравнения $|x| + |y| = 2$ в целых числах ($x, y \in \mathbb{Z}$), необходимо учесть, что модули чисел, $|x|$ и $|y|$, являются неотрицательными целыми числами. Следовательно, мы ищем такие пары неотрицательных целых чисел $(|x|, |y|)$, сумма которых равна 2.

Существует три возможных варианта разложения числа 2 на сумму двух неотрицательных целых слагаемых: $2 = 0 + 2$, $2 = 1 + 1$ и $2 = 2 + 0$. Рассмотрим каждый из этих случаев.

Случай 1: $|x| = 0$ и $|y| = 2$.Из равенства $|x| = 0$ однозначно следует, что $x = 0$. Из равенства $|y| = 2$ следует, что $y$ может быть равен $2$ или $-2$. Таким образом, мы получаем две пары решений: $(0, 2)$ и $(0, -2)$.

Случай 2: $|x| = 1$ и $|y| = 1$.Из равенства $|x| = 1$ следует, что $x$ может быть равен $1$ или $-1$. Аналогично, из $|y| = 1$ следует, что $y$ может быть равен $1$ или $-1$. Комбинируя все возможные значения для $x$ и $y$, мы получаем четыре пары решений: $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Случай 3: $|x| = 2$ и $|y| = 0$.Этот случай симметричен первому. Из $|x| = 2$ следует, что $x$ может быть равен $2$ или $-2$. Из $|y| = 0$ следует, что $y = 0$. Это дает нам еще две пары решений: $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

Так как мы рассмотрели все возможные комбинации для $|x|$ и $|y|$, других решений в целых числах нет. Объединив все найденные пары, получаем окончательный результат.

Ответ: $(0, 2), (0, -2), (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1), (2, 0), (-2, 0)$.

1139. Решите в целых числах уравнение $x^2 + y^2 = 5$.

Требуется найти все целочисленные решения уравнения $x^2 + y^2 = 5$.

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $x^2$ и $y^2$ являются неотрицательными целыми числами (точнее, полными квадратами). Из уравнения видно, что $x^2$ и $y^2$ не могут быть больше 5. То есть, $x^2 \le 5$ и $y^2 \le 5$.

Это ограничивает возможные значения для $x$ и $y$. Найдем целые числа, квадраты которых не превосходят 5:

• $0^2 = 0$
• $(\pm 1)^2 = 1$
• $(\pm 2)^2 = 4$
• $(\pm 3)^2 = 9$ (уже больше 5)

Следовательно, возможные значения для $x$ и $y$: $0, \pm 1, \pm 2$. Соответственно, возможные значения для $x^2$ и $y^2$: $0, 1, 4$.

Теперь рассмотрим все возможные комбинации значений $x^2$ и $y^2$, сумма которых равна 5.

Случай 1: $x^2 = 1, y^2 = 4$.
Если $x^2 = 1$, то $x$ может быть равен $1$ или $-1$.
Если $y^2 = 4$, то $y$ может быть равен $2$ или $-2$.
Комбинируя эти значения, получаем четыре решения:
$(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$.

Случай 2: $x^2 = 4, y^2 = 1$.
Этот случай симметричен предыдущему. Если $x^2 = 4$, то $x$ может быть равен $2$ или $-2$.
Если $y^2 = 1$, то $y$ может быть равен $1$ или $-1$.
Комбинируя эти значения, получаем еще четыре решения:
$(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

Другие варианты:
Если $x^2 = 0$, то $y^2 = 5$. Но 5 не является полным квадратом целого числа, поэтому здесь решений нет.
Если $y^2 = 0$, то $x^2 = 5$, что также не дает целочисленных решений.

Таким образом, мы нашли все возможные пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению.

Ответ: $(1, 2), (1, -2), (-1, 2), (-1, -2), (2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1)$.

1140. Кате надо заплатить за брошюру 29 р. У неё есть только монеты по 2 р. и по 5 р. Сколькими способами она может рассчитаться за покупку, не получая сдачу?

Пусть x — это количество монет достоинством 2 рубля, а y — количество монет достоинством 5 рублей, которые Катя использует для оплаты. Чтобы заплатить ровно 29 рублей без сдачи, должно выполняться следующее математическое равенство:

$2x + 5y = 29$

В этом уравнении переменные x и y должны быть целыми неотрицательными числами, так как они представляют собой количество монет.

Чтобы найти все возможные комбинации, решим это уравнение. Удобнее выразить переменную с меньшим коэффициентом, то есть x, через другую переменную, y:

$2x = 29 - 5y$

$x = \frac{29 - 5y}{2}$

Поскольку x (количество монет) должно быть целым числом, числитель дроби, $29 - 5y$, должен быть чётным числом, то есть делиться на 2 без остатка. Число 29 является нечётным. Разность двух чисел будет чётной только в том случае, если оба числа имеют одинаковую чётность. Следовательно, произведение $5y$ также должно быть нечётным. Это возможно только тогда, когда множитель y является нечётным числом.

Кроме того, количество монет не может быть отрицательным, поэтому должно выполняться условие $x \ge 0$. Это накладывает следующее ограничение на y:

$29 - 5y \ge 0$

$29 \ge 5y$

$y \le \frac{29}{5}$

$y \le 5.8$

Итак, нам необходимо найти все нечётные, целые и неотрицательные значения y, которые не превышают 5.8. Такими значениями являются: 1, 3, 5.

Теперь последовательно рассмотрим каждый из этих случаев, подставляя значения y в формулу для x:

1. Если $y = 1$ (используется одна 5-рублёвая монета):
$x = \frac{29 - 5 \cdot 1}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
Это первый способ: 12 монет по 2 рубля и 1 монета по 5 рублей.

2. Если $y = 3$ (используются три 5-рублёвые монеты):
$x = \frac{29 - 5 \cdot 3}{2} = \frac{29 - 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
Это второй способ: 7 монет по 2 рубля и 3 монеты по 5 рублей.

3. Если $y = 5$ (используется пять 5-рублёвых монет):
$x = \frac{29 - 5 \cdot 5}{2} = \frac{29 - 25}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Это третий способ: 2 монеты по 2 рубля и 5 монет по 5 рублей.

Больше нечётных неотрицательных значений для y, удовлетворяющих условию, нет. Следовательно, существует ровно три способа рассчитаться за покупку.

Ответ: 3.

1141. Ученикам 7 класса на математическом конкурсе предложили решить задачи по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решённую задачу по алгебре начислялось 2 балла, а за задачу по геометрии – 3 балла. Максимальное количество набранных баллов могло составить 24. Сколько было предложено задач отдельно по алгебре и по геометрии, если по каждому из этих предметов была хотя бы одна задача? Найдите все возможные ответы.

Пусть $x$ — количество задач по алгебре, а $y$ — количество задач по геометрии.

За каждую правильно решённую задачу по алгебре начислялось 2 балла, а по геометрии — 3 балла. Максимальное количество баллов, которое можно было набрать, равно 24. Это означает, что если решить все предложенные задачи, то общая сумма баллов будет 24.

Мы можем составить уравнение: $2x + 3y = 24$

По условию задачи, было предложено хотя бы по одной задаче каждого вида, следовательно, $x$ и $y$ — это натуральные числа ($x \ge 1$ и $y \ge 1$).

Выразим $x$ через $y$ из уравнения: $2x = 24 - 3y$ $x = \frac{24 - 3y}{2}$ $x = 12 - \frac{3}{2}y$

Поскольку $x$ должно быть целым числом, выражение $\frac{3}{2}y$ также должно приводить к целому результату при вычитании из 12. Это возможно только в том случае, если $y$ является чётным числом, так как 3 не делится на 2.

Также, поскольку $x \ge 1$, то $12 - \frac{3}{2}y \ge 1$. $11 \ge \frac{3}{2}y$ $22 \ge 3y$ $y \le \frac{22}{3}$ $y \le 7\frac{1}{3}$

Итак, нам нужно найти все чётные натуральные числа $y$, которые меньше или равны $7\frac{1}{3}$. Возможные значения для $y$: 2, 4, 6.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

Вариант 1:
Если количество задач по геометрии $y = 2$, то количество задач по алгебре: $x = 12 - \frac{3 \cdot 2}{2} = 12 - 3 = 9$
Проверка: $2 \cdot 9 + 3 \cdot 2 = 18 + 6 = 24$. Условия $x \ge 1$ и $y \ge 1$ выполнены.
Ответ: 9 задач по алгебре и 2 задачи по геометрии.

Вариант 2:
Если количество задач по геометрии $y = 4$, то количество задач по алгебре: $x = 12 - \frac{3 \cdot 4}{2} = 12 - 6 = 6$
Проверка: $2 \cdot 6 + 3 \cdot 4 = 12 + 12 = 24$. Условия $x \ge 1$ и $y \ge 1$ выполнены.
Ответ: 6 задач по алгебре и 4 задачи по геометрии.

Вариант 3:
Если количество задач по геометрии $y = 6$, то количество задач по алгебре: $x = 12 - \frac{3 \cdot 6}{2} = 12 - 9 = 3$
Проверка: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 6 = 6 + 18 = 24$. Условия $x \ge 1$ и $y \ge 1$ выполнены.
Ответ: 3 задачи по алгебре и 6 задач по геометрии.

1142. Решите уравнение:

1) $x^2 + y^2 + 4 = 4y;$

2) $x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = 0;$

3) $x^2 + y^2 + x + y + 0,5 = 0;$

4) $9x^2 + y^2 + 2 = 6x.$

1) $x^2 + y^2 + 4 = 4y$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 0$

Сгруппируем члены, содержащие $y$, и заметим, что они образуют полный квадрат. Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае, выражение $y^2 - 4y + 4$ можно записать как $y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2$, что является полным квадратом $(y-2)^2$.

Подставим это обратно в уравнение:

$x^2 + (y-2)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из оснований квадратов равно нулю, так как $x^2 \ge 0$ и $(y-2)^2 \ge 0$.

Это приводит к системе двух уравнений:

$\begin{cases} x^2 = 0 \\ (y-2)^2 = 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} x = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0 \\ y = 2 \end{cases}$

Ответ: $(0; 2)$.

2) $x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и члены с $y$:

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 6y) + 10 = 0$

Выделим полные квадраты для каждой группы, используя формулы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Для группы с $x$: $x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x+1)^2 - 1$.

Для группы с $y$: $y^2 - 6y = (y^2 - 6y + 9) - 9 = (y-3)^2 - 9$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(x+1)^2 - 1 + (y-3)^2 - 9 + 10 = 0$

Упростим, сложив константы:

$(x+1)^2 + (y-3)^2 - 10 + 10 = 0$

$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю только если оба основания равны нулю:

$\begin{cases} (x+1)^2 = 0 \\ (y-3)^2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 1 = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -1 \\ y = 3 \end{cases}$

Ответ: $(-1; 3)$.

3) $x^2 + y^2 + x + y + 0,5 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и члены с $y$:

$(x^2 + x) + (y^2 + y) + 0,5 = 0$

Выделим полные квадраты для каждой группы. Для этого к выражению $a^2+2ab$ нужно добавить $b^2$.

Для группы с $x$: $x^2 + x = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $(\frac{1}{2})^2 = 0,25$. Итак, $x^2 + x = (x^2 + x + 0,25) - 0,25 = (x+0,5)^2 - 0,25$.

Аналогично для группы с $y$: $y^2 + y = (y^2 + y + 0,25) - 0,25 = (y+0,5)^2 - 0,25$.

Подставим в уравнение:

$(x+0,5)^2 - 0,25 + (y+0,5)^2 - 0,25 + 0,5 = 0$

Упростим константы:

$(x+0,5)^2 + (y+0,5)^2 - 0,5 + 0,5 = 0$

$(x+0,5)^2 + (y+0,5)^2 = 0$

Равенство верно, только если оба слагаемых равны нулю:

$\begin{cases} (x+0,5)^2 = 0 \\ (y+0,5)^2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 0,5 = 0 \\ y + 0,5 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -0,5 \\ y = -0,5 \end{cases}$

Ответ: $(-0,5; -0,5)$.

4) $9x^2 + y^2 + 2 = 6x$

Перенесем все члены в левую часть:

$9x^2 - 6x + y^2 + 2 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и выделим полный квадрат:

$(9x^2 - 6x) + y^2 + 2 = 0$

Выражение $9x^2 - 6x$ можно представить в виде $(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1$. Для получения полного квадрата $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ необходимо добавить $b^2 = 1^2 = 1$.

Добавим и вычтем 1:

$(9x^2 - 6x + 1) - 1 + y^2 + 2 = 0$

Теперь мы можем записать полный квадрат:

$(3x-1)^2 - 1 + y^2 + 2 = 0$

Упростим уравнение:

$(3x-1)^2 + y^2 + 1 = 0$

Перенесем константу в правую часть:

$(3x-1)^2 + y^2 = -1$

В левой части уравнения стоит сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(3x-1)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Следовательно, их сумма также неотрицательна: $(3x-1)^2 + y^2 \ge 0$.

В правой части уравнения стоит отрицательное число -1. Неотрицательное число не может равняться отрицательному, поэтому данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет.

1143. Решите уравнение:

1) $x^2 + 10y + 30 = 10x - y^2 - 20;$

2) $4x^2 + y^2 + 4x = 2y - 3.$

1) $x^2 + 10y + 30 = 10x - y^2 - 20$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 + 10y + 30 - 10x + y^2 + 20 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и с $y$ и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 10x) + (y^2 + 10y) + 50 = 0$

Выделим полные квадраты для выражений в скобках. Для этого используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Для $x^2 - 10x$, чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $(\frac{10}{2})^2 = 5^2 = 25$.

Для $y^2 + 10y$, чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $(\frac{10}{2})^2 = 5^2 = 25$.

Представим число 50 как $25 + 25$ и перепишем уравнение:

$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 + 10y + 25) = 0$

Теперь свернем полные квадраты:

$(x - 5)^2 + (y + 5)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных выражений (квадраты чисел всегда больше или равны нулю) равна нулю только в том случае, если каждое из этих выражений равно нулю.

Следовательно, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (x-5)^2 = 0 \\ (y+5)^2 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x - 5 = 0$, откуда $x = 5$.

Из второго уравнения получаем $y + 5 = 0$, откуда $y = -5$.

Ответ: $(5; -5)$.

2) $4x^2 + y^2 + 4x = 2y - 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4x^2 + 4x + y^2 - 2y + 3 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и с $y$:

$(4x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) + 3 = 0$

Выделим полные квадраты. Выражение $4x^2 + 4x$ можно представить как $(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1$. Для полного квадрата не хватает $1^2 = 1$.

Выражение $y^2 - 2y$ можно представить как $y^2 - 2 \cdot y \cdot 1$. Для полного квадрата не хватает $1^2 = 1$.

Представим число 3 как $1 + 1 + 1$ и перегруппируем слагаемые:

$(4x^2 + 4x + 1) + (y^2 - 2y + 1) + 1 = 0$

Свернем полные квадраты:

$(2x + 1)^2 + (y - 1)^2 + 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(2x + 1)^2 + (y - 1)^2 = -1$

Выражения $(2x + 1)^2$ и $(y - 1)^2$ являются квадратами, поэтому их значения всегда неотрицательны (больше или равны нулю) для любых действительных чисел $x$ и $y$.

Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом: $(2x + 1)^2 + (y - 1)^2 \geq 0$.

Полученное уравнение $(2x + 1)^2 + (y - 1)^2 = -1$ не имеет решений в действительных числах, так как левая часть всегда неотрицательна, а правая часть отрицательна.

Ответ: решений нет.

1144. Графиком уравнения $(x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2$ является кривая, которую называют кардиоидой (рис. 72). Найдите координаты её точек пересечения с осями координат.

Рис. 72

Для нахождения координат точек пересечения кривой с осями координат, необходимо поочередно приравнять к нулю каждую из координат ($x$ и $y$) в уравнении кривой.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс (осью Ox)

Точки, лежащие на оси Ox, имеют ординату $y=0$. Подставим это значение в исходное уравнение $(x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2$:

$(x^2 + 0^2 + 0)^2 = x^2 + 0^2$

$(x^2)^2 = x^2$

$x^4 = x^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть и решим полученное уравнение:

$x^4 - x^2 = 0$

$x^2(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:

1) $x^2 = 0 \implies x = 0$

2) $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$

Таким образом, мы нашли три точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(-1, 0)$.

Найдем точки пересечения с осью ординат (осью Oy)

Точки, лежащие на оси Oy, имеют абсциссу $x=0$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$(0^2 + y^2 + y)^2 = 0^2 + y^2$

$(y^2 + y)^2 = y^2$

Это уравнение вида $A^2 = B^2$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Рассмотрим оба случая:

1) $y^2 + y = y$

$y^2 = 0 \implies y = 0$

2) $y^2 + y = -y$

$y^2 + 2y = 0$

$y(y + 2) = 0 \implies y = 0$ или $y = -2$

Объединив решения обоих случаев, получаем два возможных значения для ординаты: $y=0$ и $y=-2$.

Таким образом, мы нашли две точки пересечения с осью Oy: $(0, 0)$ и $(0, -2)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(0, -2)$.

1145. Графиком уравнения $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ является кривая, которую называют эллипсом (рис. 73). Найдите координаты её точек пересечения с осями координат.

Рис. 73

Чтобы найти координаты точек пересечения графика уравнения с осями координат, необходимо рассмотреть два случая: пересечение с осью абсцисс (Ox) и пересечение с осью ординат (Oy).

Пересечение с осью абсцисс (ось Ox)

Точки, принадлежащие оси абсцисс, имеют координату $y=0$. Подставим это значение в уравнение эллипса $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$:

$\frac{x^2}{25} + \frac{0^2}{16} = 1$

$\frac{x^2}{25} + 0 = 1$

$\frac{x^2}{25} = 1$

Умножим обе части уравнения на 25:

$x^2 = 25$

Отсюда находим два решения для $x$:

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Следовательно, эллипс пересекает ось Ox в точках с координатами $(-5; 0)$ и $(5; 0)$.

Пересечение с осью ординат (ось Oy)

Точки, принадлежащие оси ординат, имеют координату $x=0$. Подставим это значение в уравнение эллипса:

$\frac{0^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

$0 + \frac{y^2}{16} = 1$

$\frac{y^2}{16} = 1$

Умножим обе части уравнения на 16:

$y^2 = 16$

Отсюда находим два решения для $y$:

$y_1 = 4$, $y_2 = -4$

Следовательно, эллипс пересекает ось Oy в точках с координатами $(0; -4)$ и $(0; 4)$.

Ответ: Координаты точек пересечения эллипса с осями координат: $(-5; 0)$, $(5; 0)$, $(0; -4)$, $(0; 4)$.