Номер 1140, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1140, страница 216.

Условие.

1140. Кате надо заплатить за брошюру 29 р. У неё есть только монеты по 2 р. и по 5 р. Сколькими способами она может рассчитаться за покупку, не получая сдачу?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть x — это количество монет достоинством 2 рубля, а y — количество монет достоинством 5 рублей, которые Катя использует для оплаты. Чтобы заплатить ровно 29 рублей без сдачи, должно выполняться следующее математическое равенство:

$2x + 5y = 29$

В этом уравнении переменные x и y должны быть целыми неотрицательными числами, так как они представляют собой количество монет.

Чтобы найти все возможные комбинации, решим это уравнение. Удобнее выразить переменную с меньшим коэффициентом, то есть x, через другую переменную, y:

$2x = 29 - 5y$

$x = \frac{29 - 5y}{2}$

Поскольку x (количество монет) должно быть целым числом, числитель дроби, $29 - 5y$, должен быть чётным числом, то есть делиться на 2 без остатка. Число 29 является нечётным. Разность двух чисел будет чётной только в том случае, если оба числа имеют одинаковую чётность. Следовательно, произведение $5y$ также должно быть нечётным. Это возможно только тогда, когда множитель y является нечётным числом.

Кроме того, количество монет не может быть отрицательным, поэтому должно выполняться условие $x \ge 0$. Это накладывает следующее ограничение на y:

$29 - 5y \ge 0$

$29 \ge 5y$

$y \le \frac{29}{5}$

$y \le 5.8$

Итак, нам необходимо найти все нечётные, целые и неотрицательные значения y, которые не превышают 5.8. Такими значениями являются: 1, 3, 5.

Теперь последовательно рассмотрим каждый из этих случаев, подставляя значения y в формулу для x:

1. Если $y = 1$ (используется одна 5-рублёвая монета):
$x = \frac{29 - 5 \cdot 1}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
Это первый способ: 12 монет по 2 рубля и 1 монета по 5 рублей.

2. Если $y = 3$ (используются три 5-рублёвые монеты):
$x = \frac{29 - 5 \cdot 3}{2} = \frac{29 - 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
Это второй способ: 7 монет по 2 рубля и 3 монеты по 5 рублей.

3. Если $y = 5$ (используется пять 5-рублёвых монет):
$x = \frac{29 - 5 \cdot 5}{2} = \frac{29 - 25}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Это третий способ: 2 монеты по 2 рубля и 5 монет по 5 рублей.

Больше нечётных неотрицательных значений для y, удовлетворяющих условию, нет. Следовательно, существует ровно три способа рассчитаться за покупку.

Ответ: 3.