Номер 1139, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1139, страница 216.

Условие.

1139. Решите в целых числах уравнение $x^2 + y^2 = 5$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Требуется найти все целочисленные решения уравнения $x^2 + y^2 = 5$.

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $x^2$ и $y^2$ являются неотрицательными целыми числами (точнее, полными квадратами). Из уравнения видно, что $x^2$ и $y^2$ не могут быть больше 5. То есть, $x^2 \le 5$ и $y^2 \le 5$.

Это ограничивает возможные значения для $x$ и $y$. Найдем целые числа, квадраты которых не превосходят 5:

• $0^2 = 0$
• $(\pm 1)^2 = 1$
• $(\pm 2)^2 = 4$
• $(\pm 3)^2 = 9$ (уже больше 5)

Следовательно, возможные значения для $x$ и $y$: $0, \pm 1, \pm 2$. Соответственно, возможные значения для $x^2$ и $y^2$: $0, 1, 4$.

Теперь рассмотрим все возможные комбинации значений $x^2$ и $y^2$, сумма которых равна 5.

Случай 1: $x^2 = 1, y^2 = 4$.
Если $x^2 = 1$, то $x$ может быть равен $1$ или $-1$.
Если $y^2 = 4$, то $y$ может быть равен $2$ или $-2$.
Комбинируя эти значения, получаем четыре решения:
$(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$.

Случай 2: $x^2 = 4, y^2 = 1$.
Этот случай симметричен предыдущему. Если $x^2 = 4$, то $x$ может быть равен $2$ или $-2$.
Если $y^2 = 1$, то $y$ может быть равен $1$ или $-1$.
Комбинируя эти значения, получаем еще четыре решения:
$(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

Другие варианты:
Если $x^2 = 0$, то $y^2 = 5$. Но 5 не является полным квадратом целого числа, поэтому здесь решений нет.
Если $y^2 = 0$, то $x^2 = 5$, что также не дает целочисленных решений.

Таким образом, мы нашли все возможные пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению.

Ответ: $(1, 2), (1, -2), (-1, 2), (-1, -2), (2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1)$.